∂ ∂x
+
r ay
∂ ∂y
+
r az
∂ ∂z
7
d ⇒∇
dl
柱面坐标系：
r dl = ?
rr r
r
dl = ardr + aϕ (r ⋅ dϕ) + azdz
r ∂ r1∂ r ∂ ∇ = ar ∂r + aϕ r ∂ϕ + az ∂z
8
d ⇒∇ dl
球坐标系：
r dl = ?
rr
r
r
dl = aRdR + aθ (R ⋅ dθ ) + aϕ (R ⋅ sinθ ⋅ dϕ )
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ r
(∇ • A)dv =
(3r + 2)rdrdϕdz
2π
dϕ
4
dz
5 (3r 2 + 2r)dr
0
0
0
V
V
= 8π ⋅ (r 3 + r 2 ) |50 = 1200π
rr r r r
rr
r
∫ ∫ ∫ ∫ A • ds = A • ds + A • ds + A • ds
侧面
上表面
两个恒等式(可逆)
(1)标量场梯度的r旋度为零
r
∇U r
=
F无旋
r
∫ F无旋 • dl ≡ 0
C
Q ∇ × F无旋 ≡ 0 ——逆定理…？
(2)矢量场旋度的散度为零 r
∇ • (∇r × A) ≡ 0
∇• F无散 ≡ 0 ——逆定理…？ 35
亥姆霍兹定理
定理的本质：
在空间有效区域τ内的任一矢量场F，由它的散度，旋度
r ∂u r 1 ∂u r 1 ∂u 球坐标系中：∇u = aR ∂R + aθ R ∂θ + aϕ R ⋅ sinθ ∂ϕ
10
例题
已知：Vr = V (R,θ ) = V0 ⋅ R ⋅ cosθ
令： Er = −∇V 求： E = ?
直r接法——球坐标系梯度公式！
E = −∇V = ?
∇=?
r ∂ r1∂ r 1 ∂ ∇ = aR ∂R + aθ R ∂θ + aϕ R ⋅ sinθ ∂ϕ
33
小结： 谈谈梯度、散度和旋度
• 梯度：描述标量场，自身是矢量 • 散度：描述矢量场，自身是标量标量
– 描述矢量场的分量沿其自身方向的变化 – 表征场的发散特性
• 旋度：描述矢量场，自身是矢量 - 描述矢量场的分量沿与其垂直方向的变化 - 表征场的旋转特性
34
4.亥姆霍兹定理(公理)
——Helmholtz Theorem
S
C
矢量场旋度在以曲线C为周界的曲面的面积分
＝该矢量沿包围该曲面的封闭曲线的线积分
32
微分算子及恒等式
∇ ×∇u ≡ 0 uv
∇ • (∇ × F ) ≡ 0
∇ • ∇u = ∂2u + ∂2u + ∂2u = ∇2u ∂x2 ∂y2 ∂z2
uv
uv
uv
∇2 F = ∇(∇ • F ) − ∇ × ∇ × F
r divA =
lim
⎛ ⎜
∫
r A
•
r ds
⎞ ⎟
⎜S
⎟
∆V → 0⎜⎜ ∆V ⎟⎟
r
r⎝
⎠
divA = ∇ • A
19
直角坐标系中散度表达式
r divA
=
∂Ax
+
∂Ay
+
∂Az
∂x ∂y ∂z
=
(evx
∂ ∂x
+
evy
∂ ∂y
+
evz
∂ ∂z
)
⋅
(evx
Ax
+
evy Ay
+
evz
Az )
v
=∇⋅A
∆x
ex
∆y
o
x
M ( x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z)
vv l : l0 (cosα ,cos β ,cosγ )
r
ey
∂u ∂l
M0
= lim u(M ) − u(M 0 )
∆l →0
∆l
y ∂u = ∂u cosα + ∂u cos β + ∂u cosγ
∂l ∂x
∂y
∂z
+
R
1 ⋅ sinθ
⋅
∂Aϕ ∂ϕ
21
散度的物理意义
1.矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的 函数
2.散度代表矢量场的通量源的分布特性
r ∇•A= ρ =0
无源(无散)
r ∇• A= ρ >0
有源
r ∇•A= ρ <0
有洞
22
高斯定理
散度定义
r
lim
⎛ ⎜
∫
r A
•
r ds
⎞ ⎟
divA =
⎜S
24
例题（答案1200π )
在矢由 量r＝Av 5=，evzr r＝r20+，evzz＝2z4r围验成证r的散圆度柱定形理区域，对
∫ (∇ • A)dv = ∫ A • ds
V
∇•
r A=
1⋅ ∂ r ∂r
S
(r
⋅
Ar
)
+
1 r
⋅
∂Aϕ ∂ϕ
+
∂Az ∂z
= 3r + 2
25
例题（答案1200π )
作业：1.2, 1.3, 1.7, 1.10, 1.22
38
⎟
∆V → 0⎜⎜ ∆V ⎟⎟
⎝
⎠
含义：单位体积的净流出通量
r
r
divA = ∇ • A
那么：
r
rr
∫ (∇ • A)dv = ∫ A • ds
23
V
S
高斯定理 ——Gauss’s Law
r
rr
∫ (∇ • A)dv = ∫ A • ds
V
S
矢量场散度的体积分
＝该矢量穿过包围该体积的封闭曲面的总通量
1 的梯度 ∇( 1 )
R
R
∇u = ?
∇u
=
evx
∂u ∂x
+
ev y
∂u ∂y
+
evz
∂u ∂z
v R
=
rv
−rv′
=
ex
(x
−
x′)
+ey
(y
−
y′)
+ez
(z
−
z′)
vv
∇( 1 ) = − R = − R0
R
R3
R2
v R0
是
v R
=
v r
−
rv′
单位矢量
14
特例
∇( 1 ),
R
∇( 1 )
vv
= G ⋅ l0
∂u
v
∂l |max = G
v v ∂u v ∂u v ∂u gradu = G = ex ∂x + ey ∂y + ez ∂z 4
标量的“梯度” Gradient——grad
方向导数中沿那个方向
标量函数对距离的
变化率最大？
？“爬山”
b
d
a
等值面
c
同样的增量情况下，沿什么方向最陡”？
三度、三定理
1. 标量场、梯度 2. 矢量的通量、散度、高斯定理 3. 矢量的环流、旋度、斯托克斯定理 4. 亥姆霍兹定理
——“三度”、“三定理”
1
1. 标量场、梯度
标量场在空间的分布和变化规律 ——等值面，方向导数，梯度
等值面
标量场可以用一个标量函数表示：
u = u(x, y, z) = u(rv)
R
∇′( 1 ) ?
R
= − ∇′( 1 )
R
15
2.矢量的通量和散度
矢量线-----线上每一点的切线方向与该点矢量场的方 向相同 单位空间内矢量线的个数代表该点场的大小
vv F × dl = 0
16
2.矢量的通量和散度
矢量在某一有向曲面的面积分称为通过该面的通量。
v
v
数学描述：矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分
v ∂ v1∂ v ∂ ∇ = er ∂r + eϕ r ∂ϕ + ez ∂z
球坐标系中：
∇
=
r aR
∂ ∂R
r + aθ
1 R
∂ ∂θ
r + aϕ
1 R ⋅ sinθ
∂ ∂ϕ
6
如何记忆 ∇ ？
d ⇒∇ dl
r
直角坐标系：dl = ?
rr
r
r
dl = axdx + aydy + azdz
∇
=
r ax
rotA = ∇ × A
M
29
不同坐标系中旋度表示式
直角坐标系
vv∂ ∂ v∂ ∂ v∂ ∂
rotA
=
ex
( ∂y
Az
−
∂z
Ay
)
+
ey
( ∂z
Ax
−
∂x
Az
)
+
ez
( ∂x
Ay
−
∂y
Ax
)
v
= ∇× A
evx evy evz