(P185)
x— 积分变量; f (x)dx — 被积表达式.
若 F (x)f(x),则
例如,
f(x)dxF(x)C ( C 为任意常数 )
exdx exC
x2dx
1 3
x3
C
C 称为积分常数, 不可丢 !
sinxdx co x C s
从不定积分定义可知:
(1)
x2(11 x2)(1 x2(x12 )x2)x 2

1 x2
11x2
(2) si2n x1 co 2xs ssi2in 2 xn x cco 2 o2xxss se 2xccs 2xc
Thank you
x 0时 (ln x) [ln x )( ] 1
x
(4)
dx 1x2
arcx tC an或
ac rx c o C t
(5)
dx arcx sC in 或 ac rx o c C s
1x2
(6) coxdsxsixnC
(7) sixndx co x C s (8) codsx2xse2cxdx taxn C (9) sidn2xx cs2cxdx co x C t
它属于函数族 F(x)C.
定理 2. 若F(x)是f(x)的一个原,则 函f (数 x)的所有 原函数都在函数族 F(x)C( C 为任意常数 ) 内 .
定义 2. f (x) 在区间 I 上的原函数全体称为 f (x)在I
上的不定积分, 记作 f(x)dx, 其中
— 积分号;
f (x) — 被积函数;
第四章
不定积分
微分法: F(x)(?) 互逆运算
积分法: (?)f(x)
第一节
第四章
不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
一、 原函数与不定积分的概念
定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 F(x)f(x)或 d F (x )f(x )d x ,则称 F (x) 为f (x) 在区间 I 上的一个原函数 .
1) (F(x)C )F(x)f(x)
F(x)C是f(x)的原函数
2)设(x)是f(x)的任一原 ， 即 函数
(x)f(x)
又知
(x)F (x)f(x )f(x ) 0
故
(x)F (x) C 0(C0为某个常)数
i1
n
f(x)dxkifi(x)dx i1
例5. 求 2x(ex5)dx. 解: 原式 [2 (ex)52x]dx
( 2 e) x 5 2 x C ln( 2 e) ln 2
2xlne2x1ln52 C
例6. 求 tan2xdx. 解: 原式 = (se2xc1)dx
求 (? )f(x) 即 (? )sixn
或由题意 f(x ) cx o C 1 s,其原函数为
f (x)dx sx i n C 1 x C 2
2. 求下列积分:
(1 )x2(1 d xx2);
(2 )s2 ix d n c x2 o x.s
提示:
(1)
se2xcdxdx ta x x n C
例7. 求
1 x x2 x (1 x2)
dx
.
解: 原式 =
x (1 x2) x(1 x2)
dx


1 1 x2
dx


1 x
dx
arcxtalnnx C
例8. 求
1
x
4
x
2
dx
.
解: 原式 = (x141x)21dx
例4. 求 si2 n xco2 xsdx. 解: 原式= 12sinxdx 1 2coxsC
三、不定积分的性质
1. kf(x)dxk f (x)dx (k0) 2.[f(x)g(x)d ]xf(x)dxg(x)dx
n
推论: 若 f (x)ki fi(x), 则
(x211)(xx221)1dx
(x21)dx1 dxx2
1x3xarcxt aC n 3
内容小结
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质 • 基本积分表 (见P188)
2. 直接积分法: 利用恒等变形, 积分性质 及 基本积分公式进行积分 .
分项积分 常用恒等变形方法 加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
思考与练习
1. 若 f (x) 的导函数为 sinx, 则 f (x) 的一个原函数
是( B ).
(A ) 1sixn ; (B ) 1sixn ; (C ) 1co x;s (D ) 1co x.s
提示: 已知 f(x)sixn
d
dx

f (x)dx f(x)或
d
f (x)dx
f(x)dx
(2 )F(x)d x F(x) C或 dF(x)F(x)C
二、 基本积分表 (P188)
利用逆向思维
(1) kdx kxC ( k 为常数)
(2) xdx11x1C (1)
(3) dxx lnx C
(1)0sextcaxd n xsex cC (1)1csxcco xdxt cs x c C
(1)2 exdxexC
(1)3 axdx a x C ln a
例3. 求
dx x3 x
.
解: 原式 =
x

4 3
dx

x

4 3
1

4 3

1
C
3x13 C
例如: (sx i)n coxs 则coxs就是 sinx的一个原 . 函数
问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?
2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
定理1. 若函 f(x数 )在区 I上 间 连 , 则续 f(x)在I上
存在原函数 .
(下章证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数