初中圆题型总结O的半径为12，求AB2＋CD2的值。

【2】（第25题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．（1）求∠ACB的度数；（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长．二、直线与圆的位置关系基础知识链接：1、直线与圆的位置关系有三种:⑴如果一条直线与一个圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离.⑵如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么就说这条直线与这个圆相切,此时这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点.⑶如果一条直线与一个圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交,此时这条直线叫做圆的割线,这两个公共点叫做交点. 2、直线与圆的位置关系的判定；3、弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角； 4. 和圆有关的比例线段（1）相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等； （2）推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；（3）切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（4）推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

5. 三角形的内切圆（1）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形； 6、圆的切线的性质与判定。

【例1】（甘肃兰州）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AE CD ⊥，垂足为E ，DA 平分BDE ∠． （1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若301cm DBC DE ∠==，，求BD 的长．【解析】（1）证明：连接OA ，DA 平分BDE ∠，BDA EDA ∴∠=∠．OA OD ODA OAD =∴∠=∠，．OAD EDA ∴∠=∠．OA CE ∴∥．D ECB O AOEDCB AOFCBAAE DE ⊥，9090AED OAE DEA ∴∠=∠=∠=，．AE OA ∴⊥．AE ∴是⊙O 的切线．（2）BD 是直径，90BCD BAD ∴∠=∠=． 3060DBC BDC ∠=∠=，，120BDE ∴∠=．DA 平分BDE ∠，60BDA EDA ∴∠=∠=．30ABD EAD ∴∠=∠=．在Rt AED △中，90302AED EAD AD DE ∠=∠=∴=，，． 在Rt ABD △中，903024BAD ABD BD AD DE ∠=∠=∴==，，． DE 的长是1cm ，BD ∴的长是4cm ．【点评】证明圆的切线，过切点的这条半径为必作辅助线.即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例2】（广东茂名）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D 作DE ∥BC ，DE 交AB 的延长线于点E ，连结AD 、BD ． （1）求证：∠ADB =∠E ；（2）当点D 运动到什么位置时，DE 是⊙O （3）当AB =5，BC =6时，求⊙O 的半径．（4分） 【解析】（1）在△ABC 中，∵AB =AC ， ∴∠ABC =∠C ．∵DE ∥BC ，∴∠ABC =∠E ， ∴∠E =∠C ． 又∵∠ADB =∠C ， ∴∠ADB =∠E ．（2）当点D 是弧BC 的中点时，DE 是⊙O 的切线．理由是：当点D 是弧BC 的中点时，则有AD ⊥BC ，且AD 过圆心O ． 又∵DE ∥BC ，∴ AD ⊥ED ． ∴ DE 是⊙O 的切线．（3）连结BO 、AO ，并延长AO 交BC 于点F ，D ECB O A OEDC B A则AF ⊥BC ，且BF =21BC =3． 又∵AB =5，∴AF =4．设⊙O 的半径为r ，在Rt△OBF 中，OF =4－r ，OB =r ，BF =3， ∴ r 2＝32＋（4－r ）2 解得r ＝825，∴⊙O 的半径是825． 【点评】 本题综合运用了等腰三角形的性质，圆的切线判定，解题最关键是抓住题中所给的已知条件，构造直角三角形，探索出不同的结论.【例4】 已知：如图7，点P 是半圆O 的直径BA 延长线上的点，PC 切半圆于C点，CD ⊥AB 于D 点，若PA ：PC ＝1：2，DB ＝4，求tan ∠PCA 及PC 的长。

图7证明：连结CB∵PC 切半圆O 于C 点，∴∠PCA ＝∠B ∵∠P ＝∠P ，∴△PAC ∽△PCB ∴AC ：BC ＝PA ：PC∴ ∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB ＝90° 又∵CD ⊥AB ∴∴AB ＝AD ＋DB ＝5 ∵∴【例5】 已知：如图8，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A 的平分线交BC 于点D ，E 为AB 上的一点，DE ＝DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D 。

求证：（1）AC 是⊙D 的切线； （2）AB ＋EB ＝AC分析：（1）欲证AC 与⊙D 相切，只要证圆心D 到AC 的距离等于⊙D 的半径BD 。

因此要作DF ⊥AC 于F（2）只要证AC＝AF＋FC＝AB＋EB，证明的关键是证BE＝FC，这又转化为证△EBD≌△CFD。

证明：（1）如图8，过D作DF⊥AC，F为垂足∵AD是∠BAC的平分线，DB⊥AB，∴DB＝DF∴点D到AC的距离等于圆D的半径∴AC是⊙D的切线（2）∵AB⊥BD，⊙D的半径等于BD，∴AB是⊙D的切线，∴AB＝AF∵在Rt△BED和Rt△FCD中，ED＝CD，BD＝FD∴△BED≌△FCD，∴BE＝FC∴AB＋BE＝AF＋FC＝AC小结：有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法。

此例题属于后一类【例6】已知：如图9，AB为⊙O的弦，P为BA延长线上一点，PE与⊙O相切于点E，C为中点，连CE交AB于点F。

求证：分析：由已知可得PE2＝PA·PB，因此要证PF2＝PA·PB，只要证PE＝PF。

即证∠PFE＝∠PEF。

证明一：如图9，作直径CD，交AB于点G，连结ED，∴∠CED＝90°∵点C为的中点，∴CD⊥AB，∴∠CFG＝∠D∵PE为⊙O切线，E为切点∴∠PEF＝∠D，∴∠PEF＝∠CFG∵∠CFG＝∠PFE，∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF∵PE2＝PA·PB，∴PF2＝PA·PB证明二：如图9－1，连结AC、AE图9－1∵点C是的中点，∴，∴∠CAB＝∠AEC∵PE切⊙O于点E，∴∠PEA＝∠C∵∠PFE＝∠CAB＋∠C，∠PEF＝∠PEA＋∠AEC∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF∵PE2＝PA·PB，∴PF2＝PA·PB【例7】（1）如图10，已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O 于F（不与B重合），直线l交⊙O于C、D，交BA延长线于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC、AD图10 图10－1 求证：①∠BAD＝∠CAG；②AC·AD＝AE·AF（2）在问题（1）中，当直线l向上平行移动，与⊙O相切时，其它条件不变。

①请你在图10－1中画出变化后的图形，并对照图10标记字母；②问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。

证明：（1）①连结BD∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°∴∠AGC＝∠ADB＝90°又∵ACDB是⊙O内接四边形∴∠ACG＝∠B，∴∠BAD＝∠CAG②连结CF∵∠BAD＝∠CAG，∠EAG＝∠FAB∴∠DAE＝∠FAC又∵∠ADC＝∠F，∴△ADE∽△AFC∴，∴AC·AD＝AE·AF（2）①见图10－1②两个结论都成立，证明如下：①连结BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∴∠ACB＝∠AGC＝90°∵GC切⊙O于C，∴∠GCA＝∠ABC∴∠BAC＝∠CAG（即∠BAD＝∠CAG）②连结CF∵∠CAG＝∠BAC，∠GCF＝∠GAC，∴∠GCF＝∠CAE，∠ACF＝∠ACG－∠GFC，∠E＝∠ACG－∠CAE∴∠ACF＝∠E，∴△ACF∽△AEC，∴∴AC2＝AE·AF（即AC·AD＝AE·AF）说明：本题通过变化图形的位置，考查了学生动手画图的能力，并通过探究式的提问加强了对学生证明题的考查，这是当前热点的考题，希望引起大家的关注。

【强化练习】【1】（第22题）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．（1）求AC、AD的长；（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．【2】（第23题）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线．（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．【3】（第25题）如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．【4】（第24题）如图，AB为⊙O的直径，PD 切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=2∠CAD．（1）求∠D的度数；（2）若CD=2，求BD的长．【5】（第27题）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．三、圆与圆的位置关系的考查基础知识链接：如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,如图(1)、(2)、(3)所示．其中(1)又叫做外离,(2)、(3)又叫做内含．(3)中两圆的圆心相同,这两个圆还可以叫做同心圆．如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,如图(4)、(5)所示．其中(4)又叫做外切,(5)又叫做内切．如果两个圆只有两个公共点,那么就说这两个圆相交,如图(6)所示．【例1】 （甘肃兰州）．如图是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是（ ）A ．内含B ．相交C ．相切D ．外离【解析】 图中的两圆没有公共点，且一个圆上的所有点都在另一个圆的外部，故两圆外离，选D.【点评】圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含．其关系可以用圆与圆公共点的个数及点与圆的位置关系来判定, 也可以用数量关系来表示圆与圆的位置关系：如果设两圆的半径为 1r 、2r ,两圆的圆心距为d,则圆与圆的位置关系与数量关系如下表【例2】（赤峰市）如图（1），两半径为r 的等圆⊙O 1和⊙O 2相交于M N ，两点，且⊙O 2过点1O ．过M 点作直线AB 垂直于MN ，分别交⊙O 1和⊙O 2于A B ，两点，连结NA NB ，．（1）猜想点2O 与⊙O 1有什么位置关系，并给出证明； （2）猜想NAB △的形状，并给出证明；（3）如图（2），若过M 的点所在的直线AB 不垂直于MN ，且点A B ，在点M 的两侧，那么（2）中的结论是否成立，若成立请给出证明．O 2O 1N O 2O 1NB【解析】解：（1）2O 在1O 上 证明：∵⊙O 2过点1O ，12O O r ∴=． 又⊙O 1的半径也是r ，∴点2O 在⊙O 1上． （2）NAB △是等边三角形证明：MN AB ⊥，90NMB NMA ∴∠=∠=． BN ∴是⊙O 2的直径，AN 是⊙O 1的直径， 即2BN AN r ==，2O 在BN 上，1O 在AN 上． 连结12O O ，则12O O 是NAB △的中位线． 1222AB O O r ∴==．AB BN AN ∴==，则NAB △是等边三角形． （3）仍然成立．证明：由（2）得在⊙O 1中弧MN 所对的圆周角为60．在⊙O 2中弧MN 所对的圆周角为60．∴当点A B ，在点M 的两侧时， 在⊙O 1中弧MN 所对的圆周角60MAN ∠=，在⊙O 2中弧MN 所对的圆周角60MBN ∠=，NAB ∴△是等边三角形．注：（2），（3）是中学生猜想为等腰三角形证明正确给一半分．【点评】相交两圆的连心线垂直平分公共弦，又且⊙O 2过点1O ，构建对称性知，⊙O 1过O 2，再证△NAB 是等腰三角形；（2）1是的基础上发散探究，具有一定的开放性．四、圆与多边形的计算考查O 2O 1N BA 图O 2O 1 NB图基础知识链接：1、圆与正多边形的关系的计算；2、弧长、扇形面积、圆锥侧面积全面积的计算.【例1】（赣州）小芳随机地向如图所示的圆形簸箕内撒了几把豆子，则豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是【解析】设圆的半径为1，则圆的面积为π，易算得正方形的边长为2，正方形面积为2，则豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是2π. 【点评】本题考查的是几何概率，解题的关键是圆与圆内接正方形的面积，根据古典概型，可转化为面积之比.【例2】两同心圆，大圆半径为３，小圆半径为１，则阴影部分面积为 【解析】根据大、小圆的半径，可求得圆环的面积为8π，图中的阴影面积为圆环面积的一半4π.【点评】有关面积计算问题，不难发现，一些不规则的图形可转化为规则的图形计算，本题就较好的体现了转化方法和整体思想. 五、圆的综合性问题的考查基础知识链接：圆的有关知识与三角函数、一次函数、二次函数等综合应用。