圆的基本题型纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；一般在 10 分－ 15 分左右，圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；利用圆的知识与其他知识点如代数函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位，另外与圆有关的实际应用题，阅读理解题，探索存在性问题仍是热门考题，应引起注意 . 下面究近年来圆的有关热点题型，举例解析如下。

一、圆的性质及重要定理的考查基础知识链接：（ 1）垂径定理；（ 2）同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关系 .(3) 圆周角定理及推论（4）圆内接四边形性质【例 1】（江苏镇江）如图， AB 为⊙ O直径， CD 为弦，且 CD AB ，垂足为 H ．（1）OCD 的平分线 CE 交⊙ O于 E ，连结 OE ．求证： E 为弧 ADB的中点；（2）如果⊙ O的半径为 1，CD 3 ，①求 O 到弦 AC 的距离；②填空：此时圆周上存在个点到直线 AC 的距离为1．2【解析】（1）OC OE ，E OCEC又OCE DCE，E DCE．O E∥C．D A BO HED又 CD AB ，AOE BOE 90 ．E 为弧 ADB的中点．（2）①CD AB ， AB 为⊙ O的直径，CD 3 ，1CD 3．又OC CH33 ．CH 1 ，sin COB 22 2 OC 1 2 COB 60 ，BAC 30 ．作 OP AC于 P，则 OP 1OA 1 ．2 2②3.【点评】本题综合考查了利用垂径定理和勾股定理及锐角三角函数求解问题的能力 . 运用垂径定理时，需添加辅助线构造与定理相关的“基本图形”.几何上把圆心到弦的距离叫做弦心距, 本题的弦心距就是指线段OD的长 . 在圆中解有关弦心距半径有关问题时, 常常添加的辅助线是连半径或作出弦心距, 把垂径定理和勾股定理结合起来解题. 如图 , ⊙O的半径为r , 弦心距为 d , 弦长 a 之间d 2a 2的关系为 r 2 . 根据此公式 , 在 a 、r、d 三个量中 , 知道任何两个量就可2以求出第三个量 . 平时在解题过程中要善于发现并运用这个基本图形 .【例】（安徽芜湖）如图，已知点 E 是圆 O上的点，2B、C分别是劣弧 AD 的三等分点，BOC 46 ，则 AED 的度数为．【解析】由B、C 分别是劣弧AD 的三等分点知，圆心角∠∠∠AOB= BOC= COD,又 BOC 46 ，所以∠AOD=138o.根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。

从而有AED ＝69o.点评本题根据同圆或等圆中的圆心角、圆周角的关系。

【强化练习】【1】. 如图，⊙O是 ABC的外接圆， BAC 60 ，AD，CE分别是 BC，AB上的高，且 AD， CE交于点 H，求证： AH=AO1(1)如图，在⊙ O中，弦 AC⊥BD， OE⊥AB，垂足为 E，求证： OE= CD 212 2(2)如图， AC， BD是⊙ O的两条弦，且 ACBD，⊙ O的半径为，求 AB＋CD 的值。

2【2】（第 25 题）如图，⊙ O 是△ ABC 的外接圆，弦 BD 交 AC 于点 E，连接 CD ，且 AE=DE ，BC=CE ．（1）求∠ ACB 的度数；（2）过点 O 作 OF⊥ AC 于点 F，延长 FO 交 BE 于点 G， DE=3 ， EG=2，求 AB 的长．二、直线与圆的位置关系基础知识链接：1、直线与圆的位置关系有三种:⑴如果一条直线与一个圆没有公共点, 那么就说这条直线与这个圆相离.⑵如果一条直线与一个圆只有一个公共点, 那么就说这条直线与这个圆相切, 此时这条直线叫做圆的切线 , 这个公共点叫做切点 .⑶如果一条直线与一个圆有两个公共点, 那么就说这条直线与这个圆相交,此时这条直线叫做圆的割线 , 这两个公共点叫做交点 .2、直线与圆的位置关系的判定；3、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；4.和圆有关的比例线段（ 1）相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；（2）推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；（3）切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（4）推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

5.三角形的内切圆（1）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形；6、圆的切线的性质与判定。

【例 1】（甘肃兰州）如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O，BD 是⊙ O的直径，AE CD ，垂足为 E，DA平分BDE ．AE （1）求证： AE 是⊙ O的切线；D （2）若DBC 30 ， DE 1cm ，求BD的长．OB C【解析】（1）证明：连接 OA，DA 平分BDE ，BDAEDA ．O A O，D ODA ．OAD EDA ．O A∥．C EA E D，E AED 90 ， OAE DEA 90 ．A E O．A AE 是⊙ O的切线．AE（2）BD 是直径，BCD BAD 90D ．ODBC30， B D C6，0 BDE 120 ．DA 平分BDE ，BDA EDA 60 ．ABD EAD 30 ．B C在 Rt △ AED 中，AED 90 ， EAD 30， AD 2DE ．在 Rt △ ABD 中，BAD 90 ， ABD 30， BD 2AD 4DE ．DE 的长是 1cm，BD 的长是 4cm．【点评】证明圆的切线，过切点的这条半径为必作辅助线. 即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .】（广东茂名）如图，⊙ O 是△ ABC 的外接圆，且 AB AC ，点 D 在弧 BC 上运 【例 2 =动，过点 D 作 DE ∥BC ， DE 交 AB 的延长线于点 E ，连结 AD 、BD ．A（ 1）求证：∠ ADB ∠ E ；=（2）当点 D 运动到什么位置时， DE 是⊙ O 的切线？请说明理由． B（ ）当 AB ，BC 时，求⊙ O 的半径．（ 4 分） E 3 =5 =6【解析】（1）在△ ABC 中，∵ AB=AC ，∴∠ ABC=∠ C ．∵DE ∥BC ，∴∠ ABC=∠ E ，E ∠ C ． B ∴∠ =又∵∠ ADB ∠ C ，E=∴∠ ADB=∠ E ．（2）当点 D 是弧 BC 的中点时， DE 是⊙ O 的切线．理由是：当点 D 是弧 BC 的中点时，则有 AD ⊥BC ，且 AD 过圆心 O ．又∵ DE ∥BC ，∴ AD ⊥ED ．AOC DAOCD∴ DE 是⊙ O 的切线．（ ）连结 BO 、 AO ，并延长 AO 交 BC 于点 F ，O3B1 C则 AF ⊥BC ，且 BF= BC=3．F2AB ，∴ AF又∵ ．=5 =4设⊙ O 的半径为 r，在Rt △OBF 中， OF － r ，OB r ， BF，=4 ==3∴r 2 ＝3 2 ＋（ 4－ r ） 2解得 r ＝25，∴⊙ O 的半径是25．8 8【点评】 本题综合运用了等腰三角形的性质，圆的切线判定，解题最关键是抓住题中所给的已知条件，构造直角三角形，探索出不同的结论.【例 4】 已知：如图 7，点 P 是半圆 O 的直径 BA 延长线上的点， PC 切半圆于 C 点， CD ⊥ AB 于 D 点，若 PA ： PC ＝1：2，DB ＝4，求 tan ∠ PCA 及 PC 的长。

图 7证明：连结 CB∵PC切半圆 O于 C点，∴∠ PCA＝∠B ∵∠ P＝∠ P，∴△ PAC∽△ PCB∴AC：BC＝PA： PC∴∵AB是半圆 O的直径，∴∠ ACB＝90°又∵ CD⊥ AB∴∴AB＝AD＋DB＝ 5∵∴【例 5】已知：如图 8，在 Rt△ ABC中，∠ B＝ 90°，∠ A 的平分线交 BC于点D， E 为 AB上的一点， DE＝ DC，以 D为圆心， DB长为半径作⊙ D。

求证：（ 1）AC是⊙ D 的切线；（2）AB＋ EB＝AC分析：（ 1）欲证 AC与⊙ D相切，只要证圆心 D 到 AC的距离等于⊙ D的半径BD。

因此要作 DF⊥AC于 F（2）只要证 AC＝AF＋ FC＝AB＋EB，证明的关键是证 BE＝FC，这又转化为证△EBD ≌△ CFD。

证明：（ 1）如图 8，过 D作 DF⊥ AC，F 为垂足∵AD是∠ BAC的平分线， DB⊥ AB，∴ DB＝DF∴点 D 到 AC的距离等于圆 D 的半径∴AC是⊙ D 的切线（2）∵ AB⊥ BD，⊙ D的半径等于BD，∴AB是⊙ D 的切线，∴ AB＝AF∵在 Rt △BED和 Rt△ FCD中， ED＝CD，BD＝FD∴△ BED≌△ FCD，∴ BE＝FC∴AB＋BE＝AF＋ FC＝AC小结：有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法。

此例题属于后一类【例 6】已知：如图 9， AB为⊙ O的弦， P 为 BA延长线上一点， PE与⊙ O相切于点 E，C为中点，连 CE交 AB于点 F。

求证：分析：由已知可得2 2＝PA·PB，只要证 PE＝PF。

PE＝PA· PB，因此要证 PF即证∠ PFE＝∠ PEF。

证明一：如图 9，作直径 CD，交 AB于点 G，连结 ED，∴∠ CED＝90°∵点 C 为的中点，∴ CD⊥AB，∴∠ CFG＝∠ D∵PE为⊙ O切线， E 为切点∴∠ PEF＝∠ D，∴∠ PEF＝∠ CFG∵∠ CFG＝∠ PFE，∴∠ PFE＝∠ PEF，∴ PE＝PF2 2∵PE＝ PA·PB，∴ PF ＝PA·PB证明二：如图 9－ 1，连结 AC、AE图 9－1∵点 C 是的中点，∴，∴∠ CAB＝∠ AEC∵PE切⊙ O于点 E，∴∠ PEA＝∠ C∵∠ PFE＝∠ CAB＋∠ C，∠ PEF＝∠ PEA＋∠ AEC∴∠ PFE＝∠ PEF，∴ PE＝PF2 2∵PE＝ PA·PB，∴ PF ＝PA·PB【例 7】（1）如图 10，已知直线 AB过圆心 O，交⊙ O于 A、B，直线 AF 交⊙ O 于 F（不与 B 重合），直线 l 交⊙ O于 C、D，交 BA延长线于 E，且与 AF 垂直，垂足为 G，连结 AC、AD图 10 图 10－1求证：①∠ BAD＝∠ CAG；②AC·AD＝AE· AF（2）在问题（1）中，当直线l 向上平行移动，与⊙O相切时，其它条件不变。