专题42：解直角三角形和应用一、选择题1. （2012广东深圳3分）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时 刻，一根长为l 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为【 】A.(6米B.12米C.(4+米 D ．10米 【答案】A 。
【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质。
【分析】延长AC 交BF 延长线于E 点，则∠CFE=30°。
作CE⊥BD 于E ，在Rt△CFE 中，∠CFE=30°，CF=4，在Rt△CED 中，CE=2，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE=4。
∵△DCE∽△DAB，且CE ：DE=1：2，∴在Rt△ABD 中，AB=12BD=(12=A 。
2. （2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，A 、B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A 同侧的河岸边选定一点C ，测出AC=a 米，∠A=90°，∠C=40°，则AB 等于【 】米．A ． asin40°B ． acos40°C ． atan40°D ．a tan40【答案】C 。
【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。
【分析】∵△ABC 中，AC=a 米，∠A=90°，∠C=40°，∴AB=atan40°。
故选C 。
3. （2012福建福州4分）如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点煌距离是【 】A ．200米B ．2003米C ．2203米D ．100(3＋1)米 【答案】D 。
【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可：由已知，得∠A＝30°，∠B＝45°，CD ＝100， ∵ CD⊥AB 于点D ，∴在Rt△ACD 中，∠CDA＝90°，tanA ＝CD AD ，∴ AD＝CD tanA ＝10033＝1003。
在Rt△BCD 中，∠CDB＝90°，∠B＝45°，∴ DB＝CD ＝100。
∴ AB＝AD ＋DB ＝1003＋100＝100(3＋1)（米）。
故选D 。
4. （2012湖北宜昌3分）在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为【 】A ．24米B ．20米C ．16米D ．12米 【答案】D 。
【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。
【分析】∵AB⊥BC，BC=24米，∠ACB=27°，∴AB=BC•tan27°。
把BC=24米，tan27°≈0.5代入得，AB≈24×0.5=12米。
故选D 。
5. （2012湖北荆州3分）如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF=2，则PE 的长为【 】A ． 2B ． 2C ．D ． 3【答案】C 。
【考点】等边三角形的性质，角平分线的定义，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质。
【分析】∵△ABC 是等边三角形，点P 是∠ABC 的平分线，∴∠EBP=∠QBF=30°，。
∵FQ 是BP在Rt△BEF 中，∵∠EBP=30°，∴PE=12C 。
6. （2012湖北孝感3分）如图，在塔AB 前的平地上选择一点C ，测出塔顶的仰角为30º，从C 点向塔底B 走100m 到达D 点，测出塔顶的仰角为45º，则塔AB 的高为【 】A ．．m D m【答案】D 。
【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。
【分析】根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，由和BC=AB+100求解即可求出答案：在Rt△ABD 中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB。
在Rt△ABC 中，∵∠ACB=30°，∴B 。
，解得。
故选D 。
7. （2012湖北襄阳3分）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD ．如图，已知小明距假山的水平距离BD 为12m ，他的眼镜距地面的高度为1.6m ，李明的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点C ，此时，铅垂线OE 经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为【 】A ．（）mB ．（）mC ．（）mD ．【答案】A 。
【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，作AK⊥CD 于点K ，∵BD=12米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠AOE=60°， ∴DB=AK12米，AB=KD=1.6米，∠ACK=60°。
∵AKtan ACKCK ∠=，∴0AK 12CK tan ACK tan60====∠（）（米）。
故选A 。
8. （2012四川广安3分）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是【 】A ．100mB ．．150m D ．【答案】A 。
【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，勾股定理。
【分析】∵堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1BCAC100（m ）。
故选A 。
9. （2012四川德阳3分）某时刻海上点P 处有一客轮，测得灯塔A 位于客轮P 的北偏东30°方向，且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏听偏西60°方向航行32小时到达B 处，那么tan∠ABP=【 】A.21 B.2 C.55 D.552 【答案】A 。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】∵灯塔A 位于客轮P 的北偏东30°方向，且相距20海里，∴PA=20。
∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行23小时到达B 处， ∴∠APB=90° ，BP=60×23=40。
∴tan∠ABP=AP 201BP 402==。
故选A 。
10. （2012贵州黔西南4分）兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB 的高度，工程师在D 得用高2m 的测角仪CD ，测得楼顶端A 的仰角为30°，然后向楼前进30m 到达E ，又测得楼顶端A 的仰角为60°，楼AB 的高为【 】（A ）()m （B ）()m （C ）()m （D ）()m 【答案】D 。
【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，在Rt△AFG 中，AG tan AFG FG∠=， ∠AFG=600，∴2AG FG tan60=。
在Rt△ACG 中，AG tan ACG CG∠=，∠ACG=300，∴0AGCG tan30=。
又∵CF=CG－FG=30，即30=，解得AG =∴AB AG GB 2=+=+。
∴这幢教学楼的高度AB 为（2+）m 。
故选D 。
11. （2012山东泰安3分）如图，为测量某物体AB 的高度，在在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A 的仰角为60°，则物体AB 的高度为【 】A ．B ．10米C ．米D 米 【答案】A 。
【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】∵在直角三角形ADC 中，∠D=30°，∴ABBD=tan30°。
∴BD=0AB tan 30。
∵在直角三角形ABC 中，∠ACB=60°，∴BC=AB tan 60。
∵CD=20，∴CD=BD﹣。
解得：AB=A 。
二、填空题1. （2012江苏南京2分）如图，将45︒的∠AOB 按图摆放在一把刻度尺上，顶点O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点B 在尺上的读数为2cm ，若按相同的方式将37︒的∠AOC 放置在该尺上，则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数约为 ▲ cm （结果精确到0.1 cm ，参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈）【答案】2.7。
【考点】解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】过点B 作BD⊥OA 于D ，过点C 作CE⊥OA 于E 。
在△BOD 中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，∴BD=OD=2cm。
∴CE=BD=2cm。
在△COE 中，∠CEO=90°，∠COE=37°， ∵CEtan37 0.75OE︒=≈，∴OE≈2.7cm。
∴OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数约为2.7cm 。
2. （2012福建南平3分）如图，在山坡AB 上种树，已知∠C=90°，∠A=28°，AC=6米，则相邻两树的坡面距离AB≈ ▲ 米．（精确到0.1米）【答案】6.8。
【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义。
【分析】利用线段AC 的长和∠A 的余弦弦值求得线段AB 的长即可：AC 6AB 6.8cos280.88=≈≈︒（米）。
2. （2012福建龙岩3分）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC = BC = 6，E 是斜边AB 上任意一点，作EF⊥AC于F ，EG⊥BC 于G ，则矩形CFEG 的周长是 ▲ ．【答案】12。
【考点】等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，平行的性质。
【分析】∵∠C=90°，EF⊥AC，EG⊥BC，∴∠C=∠EFC=∠EGC=90°。
∴四边形FCGE 是矩形。
∴FC=EG，FE=CG ，EF∥CG，EG∥CA，∴∠BEG=∠A=45°=∠B。
∴EG=BG。
同理AF=EF ，∴矩形CFEG 的周长是CF+EF+EG+CG=CF+AF+BG+CG=AC+BC=6+6=12。