因式分解【知识梳理】因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。
1 1 1即：多项式几个整式的积例：-ax -bx -x(a b)3 3 3因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。
(1) 整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；(2) 因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘；(3) 因式分解的最后结果应当是积”的形式。
【例题】判断下面哪项是因式分解：珈(口+b+tr) 3x+6y-2 = 3(x+j)-2因式分解的方法提公因式法：定义：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，从而将多项式化成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。
公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。
公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。
系数---取各项系数的最大公约数字母---取各项都含有的字母指数---取相同字母的最低次幕(指数)【例题】12a3b3c 8a3b2c36a4b2c2的公因式是______________________ .【解析】从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、— & 6,它们的最大公约33 323 422 3 2 3 2数为2；字母部分abc, abc,abc都含有因式a b c，故多项式的公因式是2a b c .小结提公因式的步骤：第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。
注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。
多项式中第一项有负号的，要先提取符号【基础练习】1. ax 、ay 、— ax 的公因式是 __________ ; 6mn 2、— 2m 2 n 3、4mn 的公因式是 ____________ . 2 •下列各式变形中，是因式分解的是()1A. a 2— 2ab + b 2— 1=( a — b ) 2— 1 B . 2x 2 2x 2x 2(1 丄)xC . (x + 2) (x — 2)= x 2— 4D . x 4— 1=( x 2 + 1) ( x + 1) (x — 1)3. 将多项式—6x 3y 2 + 3x 2y 2— 12x 2y 3分解因式时，应提取的公因式是() A. — 3xyB . — 3x 2yC . — 3x 2y 2D . — 3x 3y 34. 多项式a n — a 3n + a n + 2分解因式的结果是()A . a n (1 — a 3 + a 2)B . a n (— a 2n + a 2)C . a n (1 — a 2n + a 2)D . a n (— a 3 + a n )5 .把下列各式因式分解:—2x 2n — 4x n x (a — b ) 2n + xy (b — a ) 2^16. 应用简便方法计算:(1) 2012— 201(3)说明 3200 — 4X 3199+ 10>3198 能被 7 整除.5x 2y + 10xy 2— 15xy3x ( m — n ) + 2 (m — n )3 (x — 3) 2— 6 (3 — x )y (x — y ) 2—( y — x ) 3(2) 4.3 >199.8+ 7.6 >199.8— 1.9 >199.8【提高练习】1. 把下列各式因式分解:(1) _______________________________________ — 16a 2b -8ab= ; (2) x 3 (x — y ) 2 — x 2 (y — x ) 2= _______________________ 2. 在空白处填出适当的式子：3. 如果多项式x 2 + mx + n 可因式分解为（x + 1） （x — 2）,则m 、n 的值为（4. (— 2) 10+(— 2) 11 等于()1-,求 x (x + y ) 2 (1 — y )— x (y + x ) 2 的值27. 因式分解：(1) ax + ay + bx + by ;(1) x (y — 1) — ( )=(y — 1) (x + 1 )；(2) — ab 2 — b 3c (27 9)(2a + 3bc ). A . m =1, n = 2B . m =— 1, n = 2C . m = 1, n = — 2D . m =— 1, n = — 2A . — 210B . — 211C . 2105 .已知x , y 满足2x y x 3y6,求 7y (x — 3y ) 1,2— 2 (3y — x ) 3的值.6.已知 x + y = 2, xy(2) 2ax + 3am — 10bx — 15bm .运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
平方差公式式子：a2b2(a b)(a b)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
【例题1】在括号内写出适当的式子:0. 25m4= ()2； 4 2n /y ()2; 121a2b6=( )29【例题2】因式分解：(1) x2—y2=( )( )；(2) m2—16=( )((3) 49a2— 4 =( )( )；(4) 2b2—2=( )( ) 【基础练习】1 •下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（）1A. y2-49x2B. 一x°C•- m4—n2492. 下列因式分解错误.的是（）4.利用公式简算:(1) 2008 + 20082—20092;D • -(P q)2 94A. 1—16a2=( 1+ 4a) (1 —4a)C. a2—b2c2=( a + bc) ( a—bc) B. x3—x= x (x2—1)4 2 2D. - m 0.01 n9(0.ln 0.ln)(a+ b) 2—64 m4—81n4(2a —3b) 2—( b + a) 2(2) 3.14 >512— 3.14 >492.5. 已知 x + 2y = 3, x 2— 4y 2=— 15, (1)求 x — 2y 的值；(2)求 x 和 y 的值.【提高练习】1.因式分解下列各式:2 .把(3m + 2n ) 2—( 3m — 2n ) 2分解因式，结果是()4.把下列各式因式分解:6. 分别根据所给条件求出自然数 x 和y 的值：(1) x 、y 满足 x 2 + xy = 35; (2) x 、y 满足 x 2— y 2= 45 .(1)1 3m m =16m 13) a(2) x 4— 16 = _____________________ ;(4) x (x 2— 1)— x 2 + 1 = _________________B. 16n 2C. 36m 2D. 24mn3•下列因式分解正确的是()A . — a 2 + 9b 2=( 2a + 3b ) ( 2a — 3b )1 2 1 C . 2a (1 2a)(1 2a) 2 2B. a 5— 81ab 4= a (a 2 + 9b 2) (a 2— 9b 2) D . x 2— 4f — 3x — 6y =( x — 2y ) (x + 2y — 3)m 2 (x — y ) + n 2 (y — x )3 ( x + y ) 2— 27(3m 2— n 2) 2—( m 2— 3n 2) 25.已知x22 —,y 75空，求(x + y ) 2—( x — y ) 2 的值. 44【注意】①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。
完全平方公式2a 2ab(1)式子：2a 2abb 2 (a b 2 (ab)2 b)23a 拓展：3 ab 3 (a b)(a 2 ab b 2) b 3(a b)(a 2 ab b 2)【例题】分解因式:2 x2a49 x 2 2 7 x 72 2 24a 4 a 2 2a 214x (x 7)2 (a 2)2【变式练习】1 .分解因式:4x 22xa 2 14a49 =2•因式分解 4 4a 2a ，正确的是（A . 4(1a) a 2B . (2 a)2C . (2a)(2 a)D . (2 a)2【例】(m n)26(m n) 9(m n) 32②当多项式的各项含有公因式时, 通常先提出这个公因式，然后再进一步分解因式。
【例】 2x 3 8x 2x(x 24)2 22x(x 2 ) 2x(x 2)(x 2)【变式练习】21•分解因式：2x 20x 50 __________22•分解因式：4 12(x y) 9( x y) _____________23•分解因式：8x y 8xy 2y ________ _______ 4. 分解因式：(a+b)3 — 4(a+b)= _______________ 5. 分解因式：3m(2x — y)2— 3mn 2= ____________x (y 1) 2x( y 1) (y 1)【基础练习】(a — b ) 2— 2 (a — b ) (a + b ) + ( a + b ) 27. 计算：（1） 2972&若 a 2+ 2a + 1 + b 2— 6b + 9= 0,求 a 2— b 2 的值.1 •在括号中填入适当的式子，使等式成立:(1) x 2+ 6x +( )2； (2) x 2—()+ 4y 2=((3) a 2— 5a +()2; ( 4 ) 4m 2— 12mn +(2 .若 4X 2— mxy + 25y 2=( 2x + 5y ) 2,贝y m= ___________ 3.将a 2+ 24a + 144因式分解，结果为（ ）A . (a + 18 ) (a + 8)B . (a + 12 ) (a — 12 )C . (a + 12) 2(a — 12 )4. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的有（）① 9a 2 — 1; ② x 2 + 4x + 4; ③ m 2— 4mn + n 2; ④—a 2 — b 2 + 2ab ;2 2 1 2⑤m 3mn9n; ®(x -y )2-6z (x + y ) +9z2A . 2个B . 3个C . 4个 5. 下列因式分解正确的是()A . 4 ( m — n ) 2— 4 ( m — n )+ 1=( 2m — 2n + 1) 2C. 4 ( m — n ) 2 — 4 (n — m )+ 1=( 2m — 2n + 1) 2 D . 5个B . 18x — 9x 2— 9=— 9 (x + 1) 2D . — a 2 — 2ab — b 2=(— a — b )6.把下列各式因式分解： a 2— 16a + 64—x 2— 4y 2 + 4xy4x 3+ 4x 2 + x2 (2) 10.32【提高练习】1.把下列各式因式分解：(1) 25 ( p+ q) 2+ 10 ( p+ q)+ 1 = ________________________________________________(2) a n+1+ a n—1—2a n= ;(3) (a+ 1) (a+ 5) + 4 =2.如果x2+ kxy+ 9y2是一个完全平方公式，那么k是（)A. 6B. —6C. i6D.183.如果a2—ab —4m是-个完全平方公式，那么m是（)A. -b21 2B. b2C. h2D.h21616884.如果x2+ 2ax+ b 是•个完全平方公式，那么a与b满足的关系是（)A. b = aB. a= 2bC. b=2aD.b= a25.把下列各式因式分解：2mx2—4mxy+ 2my2x3y+ 2x2y2+ xy3-x x3 x24(a +1) 2(2a —3)—2 (a+ 1) (3—2a)+ 2a—31 216 .若x — 3,求x —2的值.x x(m2+ n2) 2—4m2n2x2+ 2x + 1 —y2x2—2xy + y2—2x+ 2y+ 17.若a4+ b4+ a2b2= 5, ab= 2,求a2+ b2的值.&已知x3+ y3=( x+ y) (x2—xy+ y2)称为立方和公式，x3-y3=( x—y) (x2+ xy + y2)称为立方差公式，据此，试将下列各式因式分解：(1)a3+ 8 (2) 27a3— 1分组分解法(拓展)①将多项式分组后能提公因式进行因式分解：(二二分项)形式：am an bm bn、a2b2a b 等步骤：1.分组 2 .提取公因式3 2a a a 1 2 2x x y y②将多项式分组后能运用公式进行因式分解. (二一分项)2形式：a 2ab .2 2 b c【例题2】将多项式a22ab 12b因式分解2解：a22ab 1 b ==(a22ab 2 2b ) 1 (a b) 1 (a b 1)(a b 1)【例题1】把多项式ab a b 1分解因式解：ab a b 1 = (ab a) (b 1)=a(b 1) (b 1) (a 1)(b 1) 【变式练习】因式分解: a2ab ac bc十字相乘法(拓展)分析：常数项拆成两个因数 p 和q , 这两数的和p q 为一次项系数。