足球运动中弧线球的研究
§1 引言
足球在世界上拥有数百万的参与者，是世界上目前最受欢迎的运动。

由于它受到了如此之广泛的关注，如今已经有很多人对其中所包含的技术进行研究。

在1998年的世界杯的171个入球中有42个是由定位球产生，其中的百分之五十是由直接任意球产生，由此可见一脚精准的任意球在足球运动中的作用。

贝克汉姆擅长香蕉球，而克里斯蒂亚诺.罗纳尔多则擅长平快的门前急坠球或者是落地反弹球，这些都让我们忍不住去研究足球世界中弧线球这一美妙现象。

§2 理论基础
§2.1伯努利原理
伯努利原理:瑞士数学家Daniel Bernoulli 提出了现在被广为熟知的定理。

21
2
p V C ρ+= （1）
P 为气流中某一点的压力，ρ为气流密度，V 是气流中某一点的速度。

§2.2Magnus 效应
图-1
由伯努利原理可知，一个轨迹弯曲的球必须是旋转的，使球的轨迹弯曲的侧向力是由于球的旋转产生的。

旋转时产生不对称的气流，产生升力或侧向力，垂
直于转轴方向。

由图-1可知，一颗旋转的球会因为其转轴的不同，产生向上或者侧向的偏转。

§3模型
§3.1 受力情况
[1]Wesson 他的研究中指出在空中的球体受到了三个力，如图-2所示，分别是重力，空气阻力，以及由于球体旋转所产生的Magnus 力。

在图-2的情况下，Magnus 力正好与重力方向相反，是一股上升力。

Kreighbaum 与 Barthels [2] 指出，
运动物体的空气学力由物体本身的表面特性以及它暴露在空气中的面积、空气流速、压强的多方面决定的。

他们给出了任何运动物体在空气受力的公式：
2d 1C ||2||v
D A v v ρ=- （2）
21C ||2||mag v
F A v v ωρω⨯=⨯mag （3）
D 为空气阻力，F mag 为受到的Magnus 力，d C 为阻力系数，C mag 为Magnus 力系数，A 是球体在空气中的投影面积，v 是相对流速。

§3.2球体系统的阻力系数与Magnus 力系数
阻力系数与气流的密度，速度，球体投影面受到的阻力大小有关。

但是对于同一物体而言，阻力系数的差异是和雷诺数直接相关的。

Carre [3]等研究发现，雷诺系数的大小与物体表面的光滑程度、物体的速度有关，因此速度越快的球体出现紊流阻力小的可能性更大。

从Anderson [4]所给出的球体的阻力系数与雷诺数的关系图可以看出，d C 随
着Re 的增加而下降，在临界点时，d C 会突然下降很多。

发生这样的现象是因为在临界条件时，气流将突然转变为紊流，出现气流流线分离的现象，阻力瞬间大幅度减小。

图-3 球体的阻力系数与球体雷诺数之间的关系图
与阻力系数一样，球体系统的Magnus 力系数也与气流密度，速度，物体的投影面积等有关。

不旋转的球理论上的Magnus 力系数为零，所以我们只讨论球的旋转对Magnus 力系数的影响。

对于一个旋转的球，我们不管它的旋转方向，它产生了Magnus 力从而改变了球的运动轨迹产生了弧线球。

§3.3球在空中飞行时的加速度方程
对于图-2中的球体，我们在考虑重力，Magnus 力以及空气阻力的情况下，运动的向量方程为：
m ag
F D
a g m m
=++ （4）
带入m ag F 和D 得到：
2
2
d C ||C ||11||
||22mag v
v
A v A v v v a g m
m
ωρρω⨯⨯=
-+ （5） 其中
a 为球体运动的加速度，m 为球体质量，g 为重力加速度。

已经给出了球体在空中飞行的加速度的方程，对于一个已经确定的球体来说，
由于环境中的ρ的不确定性，以及两个参数C mag 、d C 的不确定性我们无法给出式一个更简易的方程。

在现有的条件下笔者无法给出关于这个方程的更多的解释及描述。

日后有更好的条件时，希望可以运用计算机模拟这个方程，给出更多的图像解释。

虽然无法运用模型直观的描绘弧线球的运动，但是我们可以运用这个模型解释足球运动中的弧线球以及和弧线球有关的现象。

§4 模型在特定现象上的运用
按照国际标准我们取足球的参数如下
§4.1电梯球
巴西球员迪迪发明了电梯球（又称落叶球），而在当今足坛落叶球的代表有皮尔洛，克里斯蒂亚诺罗纳尔多等。

本文将以c 罗的电梯球为例，研究电梯球的轨迹以及球在坠入球门前的急坠的原因。

我借助实况足球这款游戏里的任意球模式，帮助我们直观模型的建立。

图-4 电脑模拟c 罗任意球情形
按照c 罗的任意球风格，我们选取了他最为擅长的23m 的距离来研究他的任意球轨迹。

这种方式的落叶球几乎没有侧旋，有一定量的外旋。

没有侧旋就意味着球不会有侧向的弧线，我们把他的整个球的飞行轨迹简化成一个平面上的运动。

图-5 理想的电梯球飞行轨迹图
在（2）式中，空气阻力系数d C 与Re 直接相关。

在Anderson 的研究中，足球的Re 约为，在图-3中对应发现 。

所以式（2）简化为：
2
0.13||
||v
D A v v ρ=- （6）
在（3）式中，根据文献[6]系数 ，R 为球体的半径，所以（3
）式化简
5
2.510⨯2mag R
C v
ω=d C 0.26
=
为：
2
||||R
v
F A v
v v
ωωρω⨯=⨯mag
(7)
我们只研究二维的运动，将速度进行x 、y 两个方向的分解，而只考虑z 轴的角速度：
22
x y v v v =+，
z ωω= (8)
各项资料显示，速度极高任意球的球速会高达120km/h ，个别甚至会达到200km/h 。

我们假定c 罗的球速为100km/h ，即平均速度为27m/s 。

介于c 罗任意球的特性，我们假设它是不旋转的，即0ω=。

在这样的设定下，我们把(5)式化为最简单的形式：
2
||
||
0.13v
A v v a g m
ρ=-+ （9）
带入ρ、A 、m 得到
0.05||a v v g ≈-+ (10) 对于x 、y 两个方向求解
220.05x
x x y dv v v v dt
=+
220.05y
y x y dv v v v g
dt
=++
这个方程无法求得解析解，我采用计算机作图的方式。

假设球的初始速度为30m/s ，由于出脚角度无法确定，所以电脑模拟在这样的方程下不同的出脚角度
（11）
（12）
31.25/kg m ρ
=
可能出现的轨迹情况，如下图
图-6 电脑模拟图 我们从十个轨迹中找出最符合实际情况的弧线图
图-7 模拟轨迹图
上图是模拟在出球角度为30度时的轨迹，从图中可以看出球近似在23m 处落到最低点，正好可以落入球门而且可以成功地绕过人墙。

轨迹近似符合实际情况，可以认为给出的式（11）、（12）在一定程度上是有参考性的。

然而在这个讨论中并没有运用到Magnus 力，这是三个力中被忽略看待的力。

由于电梯球的特性，由于旋转很小所以Magnus 力很小，对轨迹的讨论没有太多影响。

§5 结论
本文对足球运动中的弧线球建立模型进行了分析与计算，重点研究了弧线球中比较简单的电梯球（落叶球）的情形。

由于这种特殊情形，在研究的过程中简化掉了Magnus 力，又粗略地计算了足球的阻力系数，估算出了电梯球方程，在最模型的拟合下完善系数，得到了近似于实际情况的轨迹方程。

然而，弧线球的种类有很多。

例如贝氏弧线，带有强烈的侧旋，这种情况比电梯球复杂得多。

现有的模型实际的出入还是比较大，需要进一步的研究。

不同角度下球体轨迹
x y v v 不同角度下关系。