(n+1)个, 恰好给出(n+1)个方程.
n( x0 ) a0 a1 x0 a2 x02 an x0n y0
n
(
x1
)
a0
a1 x1
a2 x12
an x1n
y1
n( xn ) a0 a1 xn a2 xn2 an xnn yn
17
1 x0 x02 x0n a0 f ( x0 )
一次
二次
三次 15
➢ 三个基本问题
插值多项式n(x)是否存在唯一？ 若n(x)存在, 截断误差 f (x)－n(x)=? 如何求n(x)？
16
➢ 插值多项式n(x)的存在唯一性
n 次多项式n(x)有(n+1)个待定系数ai (i=0, 1, 2, …, n), 插值条件 n(xi)= f (xi)= yi (i=0, 1, 2, …, n)也是
表2.1.1 刹车距离实验数据
v 20 25 30 35 40 45 50
d 42 56 73.5 91.5 116 142.5 173
v 55 60 65 70 75 80
d 209.5 248 292.5 343 401 464
插值法是一种古老的数学方法。早在1000 多年前，我国历法上已经记载了应用一次插值 和二次插值的实例。
伟大的数学家：拉格朗日（Lagrange）、牛顿 Newton）、埃尔米特（Hermite）等人分别给出了 不同的解决方法。
生产实践中常常出现这样的问题：给出一批 离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑 曲线，以便满足设计要求或进行加工。反映 在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻 求它的分析表达式。因为由函数的表格形式 不能直接得出表中未列点处的函数值，也不 便于研究函数的性质。此外，有些函数虽有 表达式，但因式子复杂，不容易算其值和进 行理论分析，也需要构造一个简单函数来近 似它。
即
1
x1
x12
x1n
a1
f
(
x1
)
1 1
x2
xn
x22
xn2
x2n
假设车长为15英尺，根据这条法则可以得到如图1.1.2 所示的图形，它表明该法则允许的距离间隔和速率成比例， 即 d kv 。其中为比例常数
k 15英尺 90 10mph 88
图1.1.2 “2秒法则”的几何解释
下面给出一组经测试得到关于刹车距离与速度的 的较为理想的实验数据，如表1.1.1所示。要想了解刹 车的距离与车速的关系，试建立适当的数学模型，预 测车辆的总停止距离d（英尺）关于速度v（英里/小时） 的函数，检验2秒法则与驾驶规则是否一致，并尝试寻 找更好的驾驶规则。
第五章 插值法
拉格朗日Lagrange插值 牛顿Newton插值 分段线性差值 埃尔米特Hermite插值 样条插值
1
§1 引 言
一、引例
已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13
8
解决这种问题的方法有两类：一类是给出函数 f(x)的一些样点值，选定一个便于计算的函数形 式，如多项式、分式线性函数及三角多项式等， 要求它通过已知样点，由此确定函数f'(x)作为 f(x)的近似。这就是插值法。另一类方法在选定 近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样
点，只要求在某种意义下他在这些点上的总偏 差最小。这类方法称为曲线（数据）拟合法。
选取次数不超过n的多项式 Pn(x) ，使得
Pn (xj) = yj (j = 0, 1… n)
本(2.章1.2主) 要讨论的内 容
插值问题
插值法
插值函数
➢ 为什么需要插值?
函数表达式复杂, 不便于计算和进行理论分析; 没有函数表达式, 只给出离散样点.
找简单函数近似, 即函数逼近. 函数逼近常用方法: 插值法, 曲线拟合法. 插值法: 多项式插值, 三角多项式插值.
二、插值问题的定义
当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在区间
a,b上一系列节点 x0 , x1,xm 处测得函数值
y0 f x0 ,ym f xm ,由此构造一个简单易算的
近似函数 g(x) f(x)，满足条件
g xj yj j 0,1,m(2.1.1)
这个问题称为“插值问题”
这里的 g(x) 称为f(x) 的插值函数。 节点 x0 … xm称为插值节点, 条件（2.1.1)称为插值条件，
区间 a, b称为插值区间。
如果利用g(x)来求f(x) 在y点 的近似值，则称y为插值点。
插值函数的类型有很多种
最常用的插值函数是 代…数? 多项式
用代数多项式作插值函数的插值称为代数插值，即
(2) 满足插值条件
n( xi ) f ( xi ) yi (i 0,1,n).
n(x): 插值多项式
xi : 插值节点
[a, b]: 插值区间
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几何意义: n次多项式插值就是过 (n+1)个点
(xi, f (xi)) (i=0, 1, …, n), 作一条多项式曲线 y= n(x)
近似曲线 y=f(x).
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§1 Lagrange插值
已知函数 f (x)在区间 [a, b]上 (n+1) 个不同点
x0, x1, x2, …, xn 处的函数值 yi= f (xi) (i=0, 1, 2,…, n),
求函数n(x), 使其满足
(1) n(x)为至多n次多项式，即
n( x) a0 a1x a2 x2 an xn
根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如 500米，600米，1000米…）处的水温.
这就是本章要讨论的“插值问题”
问题驱动：汽车的刹车距离
司机驾驶汽车时需要根据车速估计汽车的刹 车距离以确保行车安全。
图2.1.1 某车型干燥路况刹车距离示意图
美国的某司机培训课程的有如下驾驶规则：正常的驾 驶条件下对车与车之间的距离的要求是每小时10英里的速 率可以允许一辆车的跟随距离。实现这一规则的简便方法 就是 “2秒法则”：这种方法不管车速为多少，后车司机 从前车经过某一标志开始默数“一千零一，一千零二”， 这样用英文读完就是两秒。如果你在默数完这句话前就到 了同一标志处，那么你的车和前面的车靠得太近了。