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相似三角形----射影定理的推广及应用
射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中
应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三
角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练 地掌握并巧
妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时， “柳暗花明又一村”地迎刃而解。
一、射影定理
射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项;
上的射影和斜边的比例中项。
如图（1） : R t △ABC中，若CD为高, 则有C D =BD? AD
BC 2 = BD ?AB
或
AC 2 = AD ?AB
。
、变式推广
1 •逆用 如图（1）:若AABC中，CD为高，且有DC 2 = BD?
AD或AC 2 =AD ?AB或BC 2=BD ?AB，则有ZDCB = ZA或/ACD = /B，均可等到AAB
C
为直角三角形。
2 •—般化，若AABC不为直角三角形，当点D
满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。 （后 文简
称：射影定理变式（2））
如图（2） : △ABC 中， D 为 AB上 一点，若 ZCDB = ZACB，或/
DCB
= ZA，则有△CDBs^ACB，可得BC 2 = BD? AB 反之，若AA
BC中，D为 AB上 一点，且有BC =BD ?AB，则有△CDBs^ACB,
可得到ZCDB = ZACB，或
ZDCB = ZAo
三、应用
例1 如图（3）,已知：等腰三角形ABC中， AB = AC,高AD、 BE交于点
H,
求证：4DH ?
DA=BC
2
分析： 易证ZBAD = ZCAD =900- / C-Z HBD联想到射影定理变式（2）,可得
BD
2
=
DH ?DA，又BC-2BD
，故有结论成立。
（证明略）
且每条直角边都是它在斜边
EC 2 ）
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例2 如图（4）:已知OO中，D为弧AC中点，过点D的弦ED被弦AC分为4和12两部分, 求DC。
分析：易得到ZDBC = ZABD = ZDCE，满足射影定理变式（ 2 ）的条件,
故有
CD
2
= DE ?DB，易求得DC=8
（解略
）
例3 已知：如图（5）, △ABC中，AD平分ZBAC,AD的垂直平分线交
AB于点E,交AD于点H,交AC于点G,交BC的延长线于点F,
求证
：
DF
2
= CF ?BF
。
证明：连AF, TFH垂直平分
AD,
•••FA=FD, ZFAD = ZFDA,
VAD 平分 /BAC,「./CAD = /BAD, .•ZFAD-
ZCAD = ZFDA-ZBAD, •/ZB = ZFDA-
ZBAD,
•••/FAC = /B，又 ZAF
C 公共，
• ••△AFC~BFA」丄 C
F BF AF
2 2
• AF =CF ?BF,「.DF =CF ?BF
。
射影定理练习
【选择题】
1、 已知直角三角形|_ABC中，斜边AB=5cm,BC=2cmD为AC上的一点，DE _ AB交AB于E,且AD=3.2cm, 则
DE=（
A、1.24cm B 、1.26cm C 、1.28cm D 、1.3cm
2、 如图1-
1，在RtLABC中，CD是斜别AB上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（ ）线段
的长，就可以求其他线段的长
A 1 B 2 C 3 D 、4
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AC 3 3、在 Rt| ABC 中，.BAC -90： , AD BC 于点 D,若 则 BD -
(
CD
AB 4
A
3 r 4 c 16 9
A B 、 C、
D
4 3 9 16
【填空题】
5、LABC 中，.A =90：, AD _ BC 于点 D, AD=6 BD=12 则 CD _________ , AC= _________
2 2
___ , AB : AC = ___________
6、如图 2-1，在 RtLABC 中，NACB =90,, CD 丄 AB , AC=6 AD=3.6，贝U BC= __________
A
2-1
【解答题】
8、已知 CAB=90[ AD_CB，L ACE ,
L ABF
角形，求证：
DE _ DF
10、如图，在 Rt△ ABC中，CD是斜边 AB上的高，点 M 在CD
上, DHL BM且与AC的延长线交于点 E.求证：
(AED^A
CBM
( 2 ) AE ?
7、已知CD是L ABC的高,
DE _CA,DF _CB
，如图 3-1，求证:
LCEFS_ CBA
CM=AC
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CD 11、已知：如图，等腰△ ABC中，
AB=AC ADL BC于D,过点B做射线 BG
交AD AC于 点C平行于AB的直线交于
点 G
求证： （1）B吕EF?EG
（2）若过点B的射线交
AD\AC的射线AD、AC的延长线分别于
E、F两点，与过 E的直线交于点G,
则
（）的结论是否成立，若成立，请说明理
由。
F两点，与过
C平行于
A