相似三角形----射影定理的推广及应用
射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中 应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。

一般地，若将定理中的直角三 角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广）
，而此结论又可作为证明其
它命题的预备定理及联想思路， 熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时, “柳暗花明又一村”地迎刃而解。

下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。

一、 射影定理
射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项； 上的射影和斜边的比例中项。

如图（1） : R t △ABC 中，若CD 为高， 则有c D 2=BD ?AD
BC 2 = BD ?AB 或
AC 2 = AD ?AB 。

（证明略）
二、 变式推广
1 •逆用 如图（1）:若AABC 中，CD 为高，且有DC
2 =
AD 或AC 2 =AD ?AB 或BC 2=BD ?AB ，则有ZDCB = ZA 或/ACD = /B ，均可等到AAB C 为直角三角形。

（证明略）
2 •—般化，若AABC 不为直角三角形，当点D 满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。

文简称：射影定理变式（2））
（证明略）
三、应用
例1 如图（3）,已知：等腰三角形ABC 中， AB-AC,高AD 、 BE 交于点H, 求证：4DH ?DA=BC 2
分析： 易证ZBAD = ZCAD =900- / C -Z HBD 联想到射影定理变式（2）,可得
BD 2 = DH ? DA,又BC-2BD ，故有结论成立。

（证明略） 例2 如图（4）:已知OO 中，D 为弧AC 中点，过点D 的弦BD 被弦AC 分为4和12 两部分，
如图（2） : △ABC 中， D 为 AB 上 一点，若 ZCDB = ZACB ，或/ DCB = ZA ，则有△CDBs^ACB ，可得BC
2 = BD ?AB;反之，若AA BC 中，D 为AB 上 一点，且有BC
2 = BD ?AB,则有△CDBs^ACB, 可得到ZCDB = ZACB ，或ZDCB = ZAo
且每条直角边都是它在斜边
（后
原
1 >
分析：易得到ZDBC = ZABD = ZDCE ，满足射影定理变式（ 2 ）的条件,
故有CD 2 = DE ?DB,易求得DC=8
（解略）
例3 已知：如图（5）, △ABC 中，AD 平分ZBAC,AD 的垂直平分线交
AB 于点E,交AD 于点H,交AC 于点G,交BC 的延长线于点F,
2
求证：DF =CF ? BF 。

证明：连AF,
TFH 垂直平分AD,
•••FA=FD,
ZFAD = ZFDA,
VAD 平分 /BAC,「./CAD = /BAD, .•ZFAD -ZCAD = ZFDA-ZBAD, •••/FAC = /B ，又 ZAF C 公共,
2 2
• AF =CF ? BF,「.DF =CF ?BF 。

射影定理练习 【选择题】
1、 已知直角三角形 VABC 中，斜边AB=5cm,BC=2cmD 为AC 上的一点，DE AB 交AB 于E ,且AD=3.2cm, 则
DE=（
）
A 、1.24cm
B 、1.26cm
C 、1.28cm
D 、1.3cm 2、
如图1-1，在Rt VABC 中，CD 是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（
）线段
的长，就可以求其他线段的长 A 、
1 B 2
C 3
D 、4
3、
在 Rt VABC 中， BAC 90°, AD
BC 于点 卄AC
D,若
-
3
BD ，则
(
)
AB 4
CD
A 、
3 o
4
C 16 9 B 、
、 -
D
4
3
9
16
4、
如图1-2，在矩形 ABCD 中,
DE
AC,
ADE 1
-CDE , 则
EDB (
)
3
A
、
22.5° B 、30°
C 、45°
D 、 60°
【填空题】
5、 VABC 中， A 90°, AD BC 于点 D, AD=6 BD=12 则 CD= _____________ , AC= __________
2 2
___ , AB : AC = __________ 。

6、 ______________________________________________________________________________________ 如图 2-1，在 Rt VABC 中， ACB 90°, CD AB , AC=6 AD=3.6，贝U BC= ____________________________.
•••△AFCs^BFA,
AF _ C F
BF AF
•/ZB = ZFDA -ZBAD,
7、已知CD是VABC 的高，DE CA,DF CB，如图3-1，求证：VCEF s VCBA
8、已知CAB 90°, AD CB , VACE, VABF
角形，求证：DE DF
9、如图3-2，矩形ABCD中, AB=a, BC=b M是BC 的
DE AM , E是垂足，求证：DE ——2ab :
740^
10、如图，在Rt△ ABC中，CD是斜边AB上的高，点M
上, DH L BM且与AC的延长线交于点E.求证：
(AEB A CBM
(2) AE?CM=AC?CD
11、已知：如图，等腰△ ABC中，AB=AC AD丄BC于D,
做射线BG交AD AC于E、F两点，与过点C平行于父于
点Go
求证：(1) B W=EF?EG
(2)若过点B的射线交AD\AC的射线AD、长
线分别于E、F两点，与过C平行于AE的直线交于点
()的结论是否成立，若成立，请说明理由。

参考答案
C
1
、
2、B
3、C
4、C
5
、
3, 3、5, 4:1
6、7、
8
证明: 在Rt VADC 中, 由射影定律
得,
9、
CD2 CEgAC ,
又Q ECF
证明：如图所示，在
FBD EAD
AB
在RtVBCD 中，CD2 CFgBC
BCA, VCEF : VCBA
RtVBAC 中，AC2 CDgCB,AB2
,VEAD
证明：在RtVAMB 和RtVADE
BDgBC
:VFBD, BDF ADE
中，AMB DAE , ABM AED 90°
所以RtVAMB 〜RtVADE
AB AM
所以，因为AB=a, BC=b
DE AD
所以DE
ABgAD
AM
_2ab_
4a2b2
中占
I
八
、、
CD
过点B
的直线
C的延
G ,则
10、证明：(1 )•••△ ABC是直角三角形,
11、「./ A+Z ABC=90 ,
12、T CD! AB,
13、「.Z CDB=90 ,
14、即/ MCB+/ ABC=90 ,
15、.・./ A=Z MCB
16、T CDL AB,
17、.・./ 2+Z DMB=90 ,
18、T DH L BM
19、.・./ 1+Z DMB=90 ,
20、「./ 仁/ 2,
21、又•••/ ADE=90 +/ 1,Z CMB=90 +/2,
22、「./ ADE玄CMB
23、.山AED^A CBM
24、
25、（2）•••△ AED^A CBM
26、「. AE: AD=CB CM
27、「. AE?CM=AD?CB
28、TA ABC是直角三角形，CD是AB上的高，
29、.山ACD^A CBD
30、「. AC: AD=CB CD,
31、「. AC?CD=AD?CB
32、「. AE?CM=AC?CD
33、连结EC证明先BE=EC再证△ CEF s^ GEC。