1、任何圆周都被其直径平分； 2、等腰三角形的两底角相等； 3、两相交直线形成的对顶角相等； 4、若已知三角形的一边和两邻角，则三角形完全确定；
即如果一三角形有两邻角和一边与对应三角形的对应 角、边相等，则这两个三角形全等。 5、泰勒斯定理：半圆上的圆周角是直角。
毕达哥拉斯（约前580－前497）是希腊论证数学的另 一鼻祖。生于靠近小亚细亚的萨默斯岛，年轻时曾游 历埃及和巴比伦，甚至可能到过印度，年过半百后回 到故乡并开始讲学，约前520年左右移居西西里岛， 后定居于当时的大希腊（现意大利的克洛托内）建立 了今天所称的毕达哥拉斯秘密宗教学派，致力于哲学 和数学的研究。在大希腊，毕达哥拉斯赢得了很高的 声誉，产生了相当达的政治影响，但却引起敌对派的 嫉恨，终被暴徒杀害。 今天人们对毕达哥拉斯生平与工作的了解，主要也是 通过普洛克卢斯等人关于希腊数学著作的评注。
2.1 论证数学的发端
2.1.1 泰勒斯和毕达哥拉斯 2.1.2 雅典时期的希腊数学
2.2 黄金时代－亚历山大学派
2.2.1 欧几里德和几何《原本》 2.2.2 阿基米德的数学成就 2.2.3 阿波罗尼奥斯和《圆锥曲线论》
2.3 亚历山大后期和希腊数学的衰落
2.1论证数学的发端
2.1.1.泰勒斯和毕达哥拉斯 泰勒斯（约前625－547）是所知最早的希腊数学家
• 雅典学派（柏拉图学派）：柏拉图（前427－前347） 创立，后著名数学家欧多克斯（前408－前307）率徒 加入。
• 亚里士多德学派（吕园学派）：由柏拉图的生亚里 士多德（前384－前322）于公元前335年创立。相传亚 里士多德曾作过亚历山大大帝的老师。前面提到的 《几何学史》的作者欧多谟斯是亚里士多德的学生。
毕达哥拉斯学派的数学成就
• 数的研究 完全数：12，28；亲和数：220和284；形数： “三角 形数”、“正方形数”、 “五角形数”等等；勾股数：
• 几何成就 欧几里得《原本》第8卷附注指出五个正多面体的作图 的其中前三个归功于毕达哥拉斯学派，后两个归功于 蒂奥泰德（毕达哥拉斯学派晚期成员西奥多罗斯的学 生，深受毕达哥拉斯学派影响）。 一般认为，欧几里得《原本》第1卷和第2卷的大部分 资料来源于毕达哥拉斯学派，包括西方文献中一直以 毕达哥拉斯的名字命名的勾股定理。
第二讲 古希腊数学
• 公元前600年－公元600年间(公元641年，阿拉伯人占 领亚历山大城）
• 古希腊的地理范围，除了现在的希腊半岛外，还包括整 个爱琴海区域和北面的马其顿和色雷斯、意大利半岛和 小亚细亚及非洲北部等地。
• 古希腊人也叫海仑人，其历史可追溯到前2000年，先在 希腊半岛定居，到前600年左右后逐步扩张到上述地区。 作为海滨移民，他们具有典型的开拓精神，对于所接触 的事物，不愿因袭传统；其次他们身处两大河谷文明毗 邻之地，易于涉取那里的文化。
因为毕达哥拉斯学派的许多几何证明都是建立在任何 量都是可公度的基础上，所以引发了第一次数学危机。
• 数字神秘主义
例如：偶数是可分解的、从而也是容易消失的、阴性 的、属于地上的，代表黑暗和邪恶。奇数是不可分解 的、阳性的、属于天上的，代表光明和善良。
• 证明的思想
例如：勾股定理的证明，推测毕达哥拉斯从铺地砖中 获得了启发。
2.1.2.雅典时期的希腊数学 波希战争（前492－前449）后，雅典成为希腊民主政 治与经济文化的中心，希腊数学也随之走向繁荣，学 派林立，主要有：
• 伊利亚学派：主要活动在伊利亚（意大利的南端）地 区，主要代表人物是芝诺。
• 诡辩学派（智人学派）：以希比阿斯（前460－）、安 提丰、布里松等为代表。
毕达哥拉斯学派的数学思想
• 万物皆数
这里的数是整数或整数之比。“人们所知道的一切事 物中都包含数；因此，没有数既不可能表达，也不可 能理解任何事物。”
任何量都可以表示成两个整数之比。在几何上即任何 两个线段，总能找到第三个线段，以它为单位可以讲 给定的两个线段分为整数段。希腊人称之这两线段是 “可公度的”。据说该学派的希帕图斯首先发现了正 方形的对角线和一条边的不可公度性，这导致了无理 数的发现，动摇了毕达哥拉斯学派的信条。
（二）. 无限性概念的早期探索 • 伊利亚学派的芝诺提出四个著名的悖论，触及到无限
性、连续性等深刻的概念，给学术界以极大的震动。 1、二分法，一物从甲地到乙地，永远不能到达。因为 想从甲到乙，首先要通过道路的一半，但要通过这一 半，必须先通过一半的一半，这样分下去，永无止境。 结论是此物的运动被道路的无限分割阻碍着，根本不 能前进一步； 2、阿基琉斯(善跑英雄)追龟说，阿基琉斯追乌龟，永 远追不上。因为当他追到乌龟的出发点时，龟已向前 爬行了一段，他再追完这一段，龟又向前爬了一小段。 这样永远重复下去，总也追不上；
上述诸多学派以哲学探讨为主，但他们的研究活动极 大地加强了希腊数学的理论化色彩，主要表现在以下 三个方面：
（一）. 三大几何问题 1、三等分角； 2、倍立方体，即求作一立方体，使其体积是已知立 方体的二倍； 3、化圆为方，即求作一正方形，使其面积等于一已 知圆。
• 这些问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和 圆规。
• 希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规 的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学从实 际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。
• 诡辩学派的希比阿斯为了三等分任意角而发明了“割 圆曲线”。
• 柏拉图学派的梅内赫莫斯为解决倍立方体问题发现了 圆锥曲线。
• 诡辩学派的安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方 问题，这是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形， 以后每次边数加倍，得8、16、32、…边形。安提丰深 信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭”。这 提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽的割圆术 思想不谋而合。
和论证几何学的鼻祖.出生于小亚细亚的爱奥尼亚， 将埃及的几何研究引进希腊，他领导的爱奥尼亚学派 据说开了希腊命题论证之先河。 注：关于泰勒斯在数学上的贡献的证据来自于公元5 世纪的普洛克鲁斯所著的《欧几里德原本第一卷评注 》引述约公元前330年欧多谟斯（亚里士多德的学生 ）所撰《几何学史》的内容。
泰勒斯的贡献：