L mvd k
由上例可以看出，并非质点仅在圆周运动时才具有角动量， 质点作直线运动时，对于不在此直线上的参考点也具有角动量。
另外，还可以看出，如果把参考点选在该直线上，则sin 0，
质点对该点的角动量永远等于零。因此，当谈到角动量时，必 须指明是对哪个参考点而言的，否则没有意义。
二、力对一参考点的力矩
轴线的一个分量，下面将给出力矩的一般定义。
如右图所示，O 是空间一点，F 是作
z
F
用力，A 表示受力点，受力点相对于 τ 参考点O 的位置矢量 r 与力 F 矢量的
φ
矢量积τ 叫做力 F 对参考点O的矩，
rA
其数学表达式为τ= r× F
xO
y
由定义可知，同一个力对于不同的参考点有不同的力矩，
因此讲到力矩时必须指明是相对哪一点而言的。当力 F不为零 时，力矩τ仍可能为零，这有两种情况：一是力的作用点就在参 考点 O ，此时位置矢量 r =0；另一种是沿力的方向的延长线通
L
于参考点的位置，故又与参考点的
φ
选择有关。例如，图（b）中对 o点
r
的角动量与对 o点角动量是不相同
O
y
的。
x
（a）
z
Lz L
o r mv s
L Lz r
o （b）
应当指出的是，虽然质点相 对于任一直线（例如 z 轴） 上的不同参考点的角动量是
不相等的，但是这些角动量
在该直线上的投影却是相等 的。如图（b）所示，取 S 平
三、质点对参考点的角动量定理和守恒定律
1
rv
常量
dt
dt
dt
2
因在平面内运动，故 r v 恒矢量 2
● 橡皮筋实验，掠面速度亦为一恒量
● 量）上质，述点能不匀否同速对的直它运线们动运提有动供共，统同对一特线的征外动，任力即一学点描r 掠述v2面？速恒度矢守量恒，（运动学
前两种运动的动量、动能均发生变化， 后一种动量、动能 均守恒。因此，动量和动能都不是对上面现象作出统一描述的
影面积，两者是相同的，故 Lz Lz 上述三个典型例子意味着对选定的参考点的角动量守恒。
我们把质点对 z 轴上任一点的角动量 L 在 z 轴上的投影，叫
做质点对于 z 轴的角动量，用 Lz表示，上面已证明， Lz的数值是
与参考点无关的。
y
[例题] 质量为 m 的质点在 xy
m v
平面内以速度 v 作匀速直线运动，
物理量。研究上述问题总需要选择参考点，对于一矢量，常可 研究它对某参考点的“矩”。 定义：质点对于参考点的位置矢量与其动量的矢积
L r mv r p 称为质点对该参考点的角动量（或
动量矩）。
此时它包含了质量，是一个动力学量！
z
L 含有动量 mv 因子，因此与参考
mv
系有关；L 还含有 r 因子，r 又依赖
过参考点 O ，此时sinφ=0 。如果质点在运动中受到的力始终 指向某个固定的中心，这种力叫做有心力，该固定点称为力
心，上述第二种情况，有心力相对于力心的力矩恒为零。
力对 O 点的力矩τ 在通过 O 点的任一轴线如 z 轴上的分量， 叫做力对轴线 z 的力矩，用 τz 表示，这就是中学物理课中给出 的力矩的定义。正如上面对于角动量的讨论一样，力 F对于轴 线 z 上任一点的力矩τ 在该轴线上的分量的数值 τz 是与所选参 考点无关的。
前言
一、本章的基本内容及研究思路
角动量概念的建立和转动有密切联系，在研究物体的运动 时，人们经常可以遇到质点或质点系绕某一确定点或轴线运动 的情况，并且在这类运动中也存在着某些共同的重要规律。例 如，天文观测表明，行星绕日运动遵从开普勒第二定律，在近 日点附近绕行速度较快，远日点速度较慢，这个特点如果用角
面与 z 轴垂直，则质点对于o
点及 o点的角动量分别为 L
与 L ，L 和 L 分别等于以 r 及mv 为邻边及以 r及mv为邻边的平 行四边形的面积，L 与 L 在 z 轴上的投影分别是 Lz L cos
和 Lz Lcos(与分别是L与L和z轴间的夹角) ，由图 （b）可见，L 和 L分别是相应的两个平行四边形在 S 面上的投
普遍的定律之一。由于角动量这个物理量，从概念到数学表达， 都比动量要难理解，我们循序渐进逐步深入地来理解。
本章还要触及对称性的概念，尽管经典力学中的对称性没 有在微观领域中那么重要，但是介绍一下与本课水平相当 的对称性问题是十分有益的。
二、本章的基本要求
1. 理解质点及质点系角动量的物理意义； 2. 掌握质点、质点系的角动量定理； 3. 掌握角动量守恒定律； 4. 理解对称性的概念，了解守恒律与对称性的关系。
O
如图所示，求此质点相对于原点 O 的角动量。
d
r
[解] 根据角动量的定义式 L r mv, O
x
设 k 为沿 z 轴的单位矢量，则质点的角动量为
L r mv rmv sin k 即 L 指向 z 轴负方向。由上图可以看出，r sin 正好等于 O 点
与轨道的垂直距离 d ，因此代入上式得
动量及其规律很容易说明。特别是在有些过程中动量和机械能 都不守恒，却遵从角动量守恒定律，这就为求解这类运动问题 开辟了新途径。
角动量不但能描述经典力学中的运动状态，在近代物理理 论中仍然是表征微观运动状态的重要物理量，例如原子核的角 动量，通常称为原子核的自旋，就是描写原子核特性的。
角动量守恒定律和动量守恒定律一样，是自然界最基本最
三、本章的思考题及练习题
1. 思考题：教材P175，
2. 练习题：5.1.2 5.1.3 5.1.7 5.1.8 5.1.9 5.2.2
§1 质点的角动量
一、质点的角动量
角动量的概念是怎么引出来的？三个重要的例子（教材第 149页）
● 行星绕太阳公转时，掠面速度守恒
ds
1 r dr 2

1 r vdt 2
动量定理说明，引起动量改变的原因是力；下面将看到， 引起角动量改变的原因是力矩。
对于力矩的概念，虽然在中学物理课中已作过初步介绍，
例如，推门时作用力对门轴有力矩，用扳手拧螺帽时作用力对
螺杆的轴有力矩等，但那里讨论的只是物体绕一定轴线转动，
所遇到的力矩总是对轴的力矩，是力矩的一种特殊形式，力矩
的普遍定义是对一定参考点的，对轴的力矩只是对点的力矩沿