f(t)
Em
T/2 T
t
0
π 2π
ω1t
-Em
解: f（t）在第一个周期内的表达式为
f (t) Em f (t) Em
利用公式求系数为:
0 t T 2
T t T 2
a0
1 T
T
0
f (t )dt
0
ak
1
2
0
f (t )cos(k1t )d (1t )
1
0
Em
cos(k1t )d(1t
)
2
1C
-
us 10 141.40cos(1 t ) 47.13cos(31t ) 28.28cos(51t )
20.20cos(71t) 15.71cos(91t) V
求电流 i 和电阻吸收的平均功率P 。
解：电路中的非正弦周期电压已分解为傅立叶级数形式。
•
电流相量一般表达式为：
•
I (k)
最后按时域形式迭加为：
i 10.08 2 cos(1t 72.39) 7.66 2 cos(31t 46.4)
5.58 2 cos(51t 32.21) 4.34 2 cos(71t 24.23)
3.49 2 cos(91t 19.29) A
P P0 P1 P3 P9 669.80W
最后，把所得分量按时域形式叠加，得到电路在非正弦 周期激励下的稳态电流和电压。
这种方法称为谐波分析法。实质上是把非正弦周期电流 电路的计算化为一系列正弦电流电路的计算。
12.2 周期函数分解为傅里叶级数
一．傅氏级数
周期电流、电压、信号等都可以用一个周期函数表 示，即
f(t)=f(t+kT)
式中 T为周期函数f(t)的周期，k=0,1,2,…。
k 1
还可以写成另一种形式:
f (t ) A0 A1m cos(1t 1 ) A2m cos(21t 21 )
Akm cos(k1t k )
A0 Akm cos(k1t k )
k 1
两种形式系数之间的关系如下:
A0 a0 Akm ak2 bk2
ak Akm cos k bk Akm sin k
I av
1 T
T
0
i dt
即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值。
按上式可求得正弦电流的平均值为：
I av
1 T
T
0
Im
cos(t )dt
4Im T
T
4 0
cos
(t
)dt
4Im
T
T
[sin(t )]04
0.637Im
0.898I
它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，因为取电流的 绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。
cos
(
4
1t
)
V
•
设负载两端的第k次谐波为U (k ) ，用结点电压法有：
L
＋
1 1
jk1 L
R
•
jk1C U (k)
1•
U jk1L s(k)
us －
C
R
•
•
U (k)
1 R
U s(k)
jk1C
jk1 L
1
令k=0, 2, 4, •••, 并代入数据,可分别求得:
U 0 100V U ( 2) 2.5V U (4) 0.12V
例12-3 图示电路中L=5H，C=10µF，负载电阻R=2KΩ，电源us
为正弦全波整流波形，设ω1=314rad/s，Um=157V。求 负载两端电压的各谐波分量。
L +
us Um
us
CR
-
0
π 2π
ω1t
解: 将给定的 us 分解为傅立叶级数,得
us
4
157
1 2
1 3
cos
(
2
1
t
)
1 15
k
当k为偶数时: 当k为奇数时: 由此求得:
cos(kπ)=1, cos(kπ)= -1,
bk=0 bk=4Em/kπ
f
(t)
4Em
sin(1 t)
1 3
s in(31t )
1 5
sin(51t)
频谱图:
Akm
4Em
4Em
3
4Em
5
0 ω1
3ω1
5ω1
kω1
当函数为偶函数（纵轴对称）时，有 bk=0
三．滤波器
利用电感和电容元件的感抗和容抗对各次谐波的反应 不同，组成含有电感和电容的各种不同电路，将其接在输 入和输出之间，让某些所需频率分量顺利通过而抑制某些 不需要的频率分量，这种电路为滤波器。
低通滤波器：使低频电流分量顺利通过，抑制高频电流分量。 高通滤波器：使高频电流分量顺利通过，抑制低频电流分量。
k
arctan(
bk ak
)
f (t ) A0 A1m cos(1t 1 ) A2m cos(21t 21 ) Akm cos(k1t k )
A0 Akm cos(k1t k )
k 1
傅里叶级数是一个无穷三角级数。展开式中:
A0 —为周期函数f(t)的恒定分量（或直流分量）；
低通
高通
例：图示电路中，激励 u1(t) = u11(1)+u12( 2)，包含 1、 2 两个频率分量，且 1< 2 ，要求响应 u2(t) 只含 有 1 频率电压，如何实现？
+
C3
L1
u1(t) _
u2(t)
+
u1(t) _
可由下列滤波电路实现：
+ C2 R u2(t)
_
ω2
1 L1C 2
高次谐波取到哪一项为止，要根据所需准确度的高低 而定。
（2）分别求出电源电压或电流的恒定分量及各次谐波分量 单独作用时的响应。
对恒定分量（ω=0），求解时把电容（C）看作开路，
即： 1/ωC= ；电感（L）看作短路，即：ωL=0。
对各次谐波分量可以用相量法求解，但要注意感抗、容 抗与频率的关系，即：
幅度频谱：表示各谐波分量的振幅的频谱为幅度频谱。 相位频谱：把各次谐波的初相用相应线段依次排列的频谱
为相位频谱。
例
Akm
0 ω1 2ω1 3ω1 4ω1 5ω1 6ω1
kω1
由于各谐波的角频率是ω1的整数倍，所以这种频谱 是离散的，又称为线频谱。
例12-1 求图示周期性矩形信号的傅立叶级数展开式及其频谱.
并联谐振，开路
ω1
1 L1(C2 C3 )
串联谐振，短路
例：电路如图所示，已知ω=1000rad/s，C=1μF，R=1Ω，
us(t ) 12 15 2 cos(t) 16 2 cos(2t)V
在稳态时，uR(t)中不含基波，而二次谐波与电源二次谐波 电压相同，求：
(1t )
1
f (t )cos(k1t )d(1t )
bk
2 T
T
0
f (t )sin(k1t)dt
2 T
T
2 T 2
f (t )sin(k1t )dt
1
2
0
f
(t
)
sin(k1t
)d
(1t
)
1
f (t )sin(k1t )d(1t )
上述计算式中k=1, 2, 3, …
二．频谱
用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率的高 低顺序把它们依次排列起来，所得到的图形，称为f(t)的频 谱图。
U s(k) 1
R j
k 1C
根据迭加定理，按k=0，1，2，…的顺序，依次求解如下：
k 0, 直流分量U0 10V , I0 0, P0 0
•
k 1, U s(1) 1000V
•
1000
I (1)
A 10.0872.39 A
3 j9.45
P(1)
I
2 (1)
R
305.02W
•
k 3, U s(3) 33.330V
X Lk
k1 L，X Ck
1
k 1C
(3)并把计算结果转换为时域形式;
(4)应用叠加定理，把步骤（3）计算出的结果进 行叠加，求得所需响应。
注意：将表示不同频率正弦电流相量或电压相量 直接相加是没有意义的。
二．举例
i
R
+
例12-2 图示电路中,
us
C
R 3, 1 9.45,输 入 电 源 为:
a0
ak cos(k1t ) bk sin(k1t )
k 1
上式中的系数，可由下列公式计算：
a0
1 T
T
0
f (t )dt
1 T
T
2 T 2
f (t )dt
ak
2 T
T
0
f (t )cos(k1t )dt
2 T
T
2 T 2
f (t )cos(k1t )dt
1
2
0
f
(t )cos(k1t
)d
第十二章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
重点
1. 周期函数分解为傅立叶级数和信号的频谱; 2. 周期量的有效值、平均值； 3. 非正弦电流电路的计算和平均功率; 4. 滤波器的概念。
12.1 非正弦周期信号 12.2 周期函数分解为傅立叶级数 12.3 有效值、平均值和平均功率 12.4 非正弦周期电流电路的计算
Em
cos(k1t
)d (1t
)
2Em
0
cos(k1t )d (1t )