r2 r3 r3 2r1
r4 3r1
1 2 1 4 1 2 2 2 0 0 B2 0 5 5 3 6 0 3 3 4 3
20
r2 2 r3 5r2
r4 3r2
1 0 0 0
4 1 1 1 0 B3 0 0 2 6 0 0 1 3
因此，原方程组无解． 例3 解方程组
解
对方程组的增广矩阵B 依次施行下列初等行变换，使 它化为行阶梯形矩阵
1 1 2 3 13 B 3 1 1 1 1 1 2 1 1 8
3 13 1 1 2 r2 3r1 0 2 5 10 38 r3 r1 0 3 1 2 5
22
1 2 1
r1 r2
r2 r3
x1 x3 4 B5 对应的方程组为 x2 x3 3 x 3 4
或令x3 t , 方程组的解可记作
x1 t 4 1 4 1 3 x t 3 2 x t x3 t 1 0 x4 3 0 3
第1章 线性代数初步
1.1 高斯消元法
1
一、线性方程组
本章将研究线性方程组的一般解法， 引入矩阵初等变换这一重要工具，并且介 绍利用矩阵初等变换求逆矩阵的方法.
2
根据第一章的讨论，线性方程组
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 12 1 22 2 2n n 2 .......... am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
其中t为任意常数.
9
.
例 1 中方程组 (B4) 称为 阶梯形方程组 ．一般地， 一个阶梯形线性方程组应该满足如下两个条件： （ 1 ）如果方程组中某一方程的各项系数全为 零，那么它下方的所有方程（如果存在）的各项 系数全为零； （ 2 ）如果方程组中某一方程中至少有一项的 系数不为零，设第一个系数不为零的项是第 项 ，那么此方程下方的所有方程（如果存在）的前 i 项的系数全为零． i 例如线性方程组 x 2 x 3x 6
12
小结： 1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．用到如下三种变换 （1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换） （2）以不等于０的数乘某个方程； （以 i k 替换 i ） （3）一个方程加上另一个方程的k倍． （以 i k j 替换 i ）
13
3．上述三种变换都是可逆的．
若( A)
1 2
3
2
(1)
6
4
解
1 2 3 2
(1)
x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x 2 x 2 x 0, 2 3 4 5 x2 5 x3 3 x4 6, 3 x2 3 x3 4 x4 3,
1 2
3
4 1 2
( B1 )
2 3 4
3 21 31
3
4
( B2 )
7
1 2 2 3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4, x x x 0, 2 3 4 2 x4 6, x4 3, x1 x2 2 x3 x4 4, x x x 0, 2 3 4 x4 3, 0 0,
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .
17
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B． 等价关系的性质：
（1） 反身性 A A；
（2）对称性 若 A B , 则 B A;
（3）传递性 若 A B, B C, 则 A C.
具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解，
就称这两个线性方程组等价
18
用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：
1 2 2 1 1 1 2 1 4 1 B 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9
1 2
3
4 1 2
( B3 )
3
4
4 23
( B4 )
3
4
用“回代”的方法求出解：
8
对应的方程组为
x1 x3 4 x2 x3 3 x 3 4
或令x3 t , 方程组的解可记作
x1 t 4 1 4 1 3 x t 3 2 x t x3 t 1 0 x4 3 0 3
可以写成
Ax b
B A | b
（1.2）
如果 b1 , b2 ,..., bm 中至少有一个不为零，那么（1.1） 称为非齐次方程组；否则（1.1）称为齐次线性方程组。
4
满足方程（2.1）的 n元有序数组
x ( x1 , x2 ,..., xn )T (c1 , c2 ,..., cn )T

1 2 4
2 x3 x4 3 0 0
10
上述的消元过程中，我们对线性方程组施行了下列 三种变换： （ 1） 交换两个方程的位置； （ 2） 以非零数 k 乘一个方程； （ 3） 把某一个方程的 k 倍加到另一个方程上．
这三种变换称为线性方程组的初等变换．
11
任意一个线性方程组经过若干次初等变换后得 到的方程组与原方程组等价；并且，任意一个线性 方程组一定可以经过若干次适当的初等变换（如类 似于例1各步使用的初等变换）得到一个阶梯形的 方程组． 在例1中，我们实际上已经给出了一种求解线性方 程组的一般方法：对已知的线性方程组施行若干次适 当的初等变换，使它变为等价的阶梯形方程组，从而 达到求解的目的．这种求解线性方程组的方法称为高 斯(Gauss)消元法．
其中t为任意常数.
23
x1 2 x 2 3x3 2 例2 解线性方程组 x1 4 x 2 13x3 14 3 x 5 x 4 x 2 1 2 3
．
解 对方程组的增广矩阵 B 依次施行下列初等行变换，使它 化为行阶梯形矩阵．
．
1 2 3 2 A 1 4 13 14 3 5 4 2
r3 r2
24
这个矩阵的最后一行除最后一个元素不为零外其余元素 都为零，它对应一个矛盾方程
．
0 x1 0 x2 0 x3 2
x1 x 2 2 x3 3 x 4 13 3 x1 x 2 x3 x 4 1 x 2x x x 8 2 3 4 1
(1.1)
对此方程组，引进由方程组（1.1）的系数构成 m n矩阵A aij ， n 1 未知量列向量 x及 m 1 常数列 b

3
x1 x2 x x n
b1 b2 b b m
25
1 1 2 3 13 r2 r3 0 1 4 8 33 0 3 1 2 5
3 13 1 1 2 r3 3r2 0 1 4 8 33 0 0 13 26 104
1 2 1 1 1 2 1 1 B ( A b) 4 6 2 2 3 6 9 7
2 4 4 9
则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方 程组（1）的增广矩阵）的变换．所以下面我们 讨论矩阵的初等变换。
15
三、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 2 1
1 0 B3 0 0
4 1 1 1 0 r3 r4 0 0 2 6 r4 2r3 0 0 1 3
21
1 2 1
r3 r4
r4 2r3
1 0 0 0 1 0 0 0
4 1 1 1 0 B4 0 0 1 3 0 0 0 0 0 1 0 4 1 1 0 3 B5 0 0 1 3 0 0 0 0
1 2 3 2 0 2 10 12 r3 3 r1 0 1 5 8
r2 r1
1 2 3 2 r2 2 5 6 0 1 0 1 5 8
1 2 3 2 0 1 5 6 0 0 0 2
若( A)
i i
i

j
( B ), 则( B ) ( B ), 则( B ) ( B ), 则( B )
i
i i

j
( A); ( A); ( A).
k
k k
j
若( A)
k
j
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
14
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的 系数和常数进行运算，未知量并未参与运算． 若记
称为方程组（1.1）的一个解.方程组（1.1）的 所有解组成的集合称为（1.1）的解集. 求解非齐次线性方程组首要的问题是要判 断该方程组是否有解，若方程组有解，称该 方程组是相容的，否则称为不相容的。如果 两个方程组有相同的解集，那么称它们是等 价的方程组。