5.1高斯消去法解析
b (1) 1
高斯（Gauss）消去法
a 第二步消元：若 (2) ≠0 ，对除第一行第一列外 22
的子阵作上计算：
a a a (1)
11
(1) 12
(1)
13
0
A(3)
0
a(2) 22 0
a(2) 23
a(3) 33
0
a 0
(3)
n3
a(1)
这里
这里
a(2) ij
b(2) i
a (1) ij
a(1) i1
a(1) 11
a (1) 1j
b (1) i
a (1) i1
a (1) 11
b (1) 1
m i1
a (1) i1
a (1) 11
a (2) ij
a (1) ij
mi1
a (1) 1j
b(2) i
b(1) i
mi1
(5-1)
Ax=b
(5-2) 其中： a11 a12 a1n
x1
b1
A
a21 a22 an1an2
a2n ann
，x
x2 ：
xn
，b
b2 ∶
bn
线性方程组的概念（续）
11 1
a x a x b (1) 1i i
(1) (1)
1n n
1
a x a x b (i) (i) (i)
ii i
in n
i
a x a x b (n1)
n1n1 n1
( n 1)
n1n n
( n 1) n 1
a x a x a x (1) (1)
(1)
11 1
12 2
13 3
a x a x (2)
22 2
(2)
23 3
a x (3)
33 3
a x (3)
n3 3
a b (1) (1)
1n
1
a b (2) (2)
2n
2
a b (3) (3)
程。然后按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原
方程组的解，此过程称为回代过程。
我们的目的，是要总结归纳出一般情况下的n阶线性方程 组的消元公式和回代求解公式，从而得到求解n阶线性方
程组的能顺利在计算机上实现的行之有效的算法。
高斯（Gauss）消去法
目标 一 般 方 程 组消元法 三 角 形 方 程 组 上三角方程组的一般形式是：
高斯（Gauss）消元法
第1节 高斯（Gauss）消去法
一、高斯消去法
高斯（Gauss）消去法
高斯消元法是一个古老的直接法, 由它改进得到的选主元的消元法,是目 前计算机上常用于求低阶稠密矩阵方 程组的有效方法,其特点就是通过消元 将一般线性方程组的求解问题转化为 三角方程组的求解问题
，下例说明其基本思想:
a11 x1 a12 x2 .............................. a1n xn b1 a22 x2 ............................. a2n xn b2 ....................................... .. a x n1n1 n1 an1n xn bn1
3 x3 4 x3
6 9
x1 3 x2 2 x3 6
解 n 3, a11 1 0
m21 a21 / a11 2 / 1 2
m31 a31 / a11 1 / 1 1
做 （ 第i个 方 程 ） mi1 ( 第1个 方 程 ）i 2,3。
(1)
11 1
12 2
13 3
a x a x (2)
22 2
(2)
23 3
a x (3)
33 3
a x b (1)
(1)
1n n
1
a x b (2)
(2)
2n n
2
a x b (3)
(3)
3n n
3
a x b (n)
(n)
nn n
n
高斯（Gauss）消去法
上述消元过程除第一个方程不变以外, 第2—第 n 个方程全消去了变量 1，而系数 和常数项全得到新值：
a x a x a x (1) (1) (1)
11 1
12 2
13 3
a x a x (2)
(2)
22 2
23 3
a x a x (2)
(2)
32 2
33 3
a x b (n)
(n)
nn n
n
n
x b a x a ( (i)
i
i
(i) ) (i) i n 1 , n 2 , , 1
ij j
ii
j i 1
x b a (n)
(n)
n
n
nn
举例
例2
用Gauss消 元 法 求 解 方 程 组
2
x1 x1
2 x2 3 x2
a (2) i2
a (2) 22
这里
b(3) i
b (2) i
a (2) i2
a (2) 22
b (2) 2
a (3) ij
a (2) ij
mi2
a (2) 2j
b(3) i
b (2) i
mi2
b (2) 2
高斯（Gauss）消去法
A b 得到同解方程组
(3) x (3)
1n
b (1)
1
a(2) 2n
a(3) 3n
b
，
(3)
(2)
b
2
(3)
b
3
a(3)
nn
b
(3 n
)
高斯（Gauss）消去法
这里
a (3) ij
a (2) ij
a (2) i2
a (2) 22
a (2) 2j
m i2
线性方程组的数值解法
解线性方程组的数值方法大致分为两类：
1. 直接法：指假设计算过程中不产生含入误差，经过有 限步四则运算可求得方程组准确解的方法。
2. 迭代法：从给定的方程组的一个近似值出发，构造某 种算法逐步将其准确化，一般不能在有限步内得到准确解。
这一章介绍计算机上常用的直接法，它们都是以Gauss 消元法为基本方法，即先将线性方程组化为等价的三角形 方程组，然后求解。 请注意：由于在计算中某些数据实际上只能用有限位小
这个过程的计算公式为：
n
xn bn / ann , xi ( bi aik xk ) / aii k i 1
高斯（Gauss）消去法
a x a x
11 1
12 2
对对nn阶阶线线性性方方程程组组：a 21 x1 a 22 x 2
a x a x
n1
b(k) i
mik
bk(k)
消去过程算法
a (1) 11
高斯（Gauss）消去法
a b (1)
(1)
1n
1
a a (k)
(k)
kk
kk 1
a b (k)
(k)
kn
k
0
a ( k 1) ij
b ( k 1) j
0
k 1 i,j n
回代过程算法
高斯（Gauss）消去法
a x (1)
，都包含了解线性方程组问题，因此，线性方程组的解法
在数值计算中占有较重要的地位。
设n阶线性方程组：a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1 a22x2 a2n xn b2
其矩阵形式为： an1x1 an2 x2 ann xn bn
例1（续再）消一次元得：
二次消元后将方程化为
x1 x2 x3 6
15x2 9x3 57
倒三角形式，然后进行
回代容易解出： x3 = 3,
x2
=
2, x1
22 5
x3
= 1。
66 5
上述Gauss消元法的基本思想是：先逐次消去变量，将
方程组化成同解的上三角形方程组，此过程称为消元过
21
11
a a (第 三 行 ) ( 第 一 行 ) ( 1 ) ( 1 ) → ( 新 第 三 行 )
31
11
a a (第n行) （第一行） ( 1 ) ( 1 ) → ( 新第n行 )
n1
11
相当于第i个方程减第一个方程×数→新的第i方
程—同解！第一方程不动！
高斯（Gauss）消去法
3n
3
a b (3) (3)
nn
n
a 若 ( 3 ) 0，则 此 消 去 过 程 可 依 次 进行 下 去 。 33
