1 0 0 2
（A，b）=
1.5
0
4.5
0.5 0.5
对角线元素进行归一，得到
1 0 0 2
（A，b）=
1 0 3
1 1
方程组的解为：x1=2，x2=3，x3=1
➢“小主元”对解的精度的影响
中断分析
实际应用当中，常常难以事先判断系数 矩阵A的奇异性，会出现
➢消元过程某一步找不到非零元素 ➢消元可以进行，但最终 =0，使得回
代过程无法继续 在实际应用当中应该考虑这两种特殊情形
计算量估计
计算机完成一次乘（除）法的时间，远远超过一次 加（减）法的时间，因此，评估一个算法的计算量， 常常用做乘除法的次数来衡量
特别是方程组(6―21)还可化为
1
O
1
x1
x2
M
xn
bb12((nn
) )
M
bn(n)
显然等号右端即为方程组的解。
算例
① ② ③
将线性方程式组写成增广矩阵的形式
对列施行行变化，化为上三角行列式，得到
1 2 3 13
（A，b）=
1.5
2
8.5
0.5 1
继续对第2列进行消元，得到标准的Gauss-Jordon
线性方程组的解法
§1 线性方程组及其解法概述 §2 Gauss消去法 §3 Gauss―Jordan消去法
线性方程组及其解法概述（1/2）
线性方程组应用
线性方程组求解问题在许多科学计算问题中都 会遇到，如应力分析，电学网络，自由振动问题等
线性方程组分类方式
含零元素多少：稠密和稀疏 阶数高低：高阶和低阶 形状和性质：正定，三对角线对角占优等
(2―2)
依次将所得的 会代到2-2中，可以依次得到
n
xi (bi aik xk ) / aii ,i n, n 1, ,1
k i1
综上所述，如果矩阵A非奇异，总可以通过带行交换 或不带行交换的方式，得到非奇异的上三角行列式，进 而进行消元求解。
以上讨论告诉我们,对具有上三角形系 数矩阵的方程组(2―2)，即
Gauss消元过程中，矩阵的主对角线 元素aii称为主元素，由于被作为除数，因 此，存在小数作为除数，舍入误差变大， 影响了解的精度
改进方法，是采用Gauss主元素消去 法，加入了选主元过程，即在准备消元 的xi的系数中，挑选最大的行和待计算行， 进行行交换
Gauss主元素消去法
Gauss主元素消去法是顺序消去法的一 种改进。它的基本思想是在逐次消元时总是 选绝对值最大的元素(称之为主元)做除数,按 顺序消去法的步骤消元。
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a22 x2 a2n xn b2
ann xn bn
求解极为方便，于是对于一般形式的方程组 (2―1),我们总设法把它化为系数矩阵呈上(或下) 三角形的方程组来求解。为了达到目的,可利用 消去法进行。
算例
① ② ③
将线性方程式组写成增广矩阵的形式
且aii≠0,i=1,2,…,n
这时方程组(2―1)实际为
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a22 x2 a2n xn b2
ann xn bn
由方程组(2―2)的最后一个方程直接可得
xn bn / ann
将其代入倒数第二个方程可求得
xn1 (bn1 an1n xn ) / an1n1
（2-1）
§2 Gauss消去法
根据线性代数知识，当
时，方程组
的解存在且唯一，对增广矩阵（ A , b）施
行行初等变换，将A变成上三角矩阵A (n) ，
相应得到
A (n) x= b (n)
其解便是原方程的解，这种求解过程，称 为Gauss消去法
§2 Gauss消去法
如果线性方程组(2―1)的系数矩阵A具备 某种特殊形式,例如其为上三角矩阵
线性方程组及其解法概述（2/2）
线性方程组解法
直接法——化为一个或多个三角形方程组
Gauss消去法 Gauss-Jordon消去法 其他变形方法
迭代法——逐次用新分量来计算下一个分量
简单迭代法 Seidel迭代法 松驰法 其他方法
§2 Gauss消去法
设有线性方程组 其中
由消元过程所得的矩阵，求出x3、x2、x1的 过程称为回代过程。
用Gauss消去法求解性方程组要经过消元和 回代两个过程
Gauss存在的问题和改进方法
Gauss消去法原理简单，计算量相对Cramer 法则也有很大的减少，但也存在一下的不足
➢实际应用中，需进行中断分析
➢根据矩阵阶数的大小进行计算量估计
Gauss消去法的计算量，包含消元过程与回代过程 这两部分的计算量
消元过程的计Biblioteka 量: 消元的第k步, 计算用于消元的 乘子需n − k次除法, 消元需要(n − k)(n − k + 1)次乘法 故第k步的工作量为(n − k)(n − k + 2)次乘除法 所以, 整个消元过程的工作量为
“小主元”对解的精度的影响
对第一列施行行变化，②÷2-①， ③ -①，得到
从方程组方程③解出x3,将所得的结果代入 方程②求出x2,再把x3、x2同时代入方程①解出 x1。这样可求出方程组的解为
x1 1, x2 3, x3 2
上述求解方程组的方法就是Gauss消去法。 从原方程组，到将系数矩阵化为上三角增广矩阵， 这个过程称为消元过程
Gauss主元素消去法，最常用的是
➢ 列主元素消去法 ➢ 全主元素消去法。
§2 Gauss―Jordan消去法
前面所述的消去法均要进行两个过程,
即消元过程和回代过程。但对消元过程稍
加改变可以把方程组(6―1)化为对角形
Dx b*
(6―21)
d1
D
O
dn
此时求解就不要回代了。这种无回代过 程的主元素消去法称为Gauss―Jordan消 去法