位移法是将超静定结构化为超静定梁系来计 算的。
位移法的提出
F
图示结构是6次超静定结构，但只有一个结点位移（受弯 杆件忽略其轴向变形） 力法——6个未知量。
位移法——用结点位移作为未知量，只有一个未知量。
解法 基本未知量
基本系
力法 多余约束力 位移法 结点位移
变超静定结构为静定结构 变超静定结构为单跨梁（杆件）
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
kn1z1 k2 z2 .......knn zn FRnF 0
五、位移法的计算步骤和计算举例
一、计算步骤：
1、确定位移基本未知量,建立基本系； 在角位移未知量的结点处加上阻止转动的附加刚臂；
在线位移未知量的结点处加上阻止线位移的附加链杆。 2、分别求出基本系在荷载、单位转角和单位线位移作用 下的杆端弯矩和杆端剪力的表达式；
56
二、排架结构
Δ1
B
q
EA=∞
Δ1
C
l
A
D
Δ1
B
C
FR1
q
EA=∞
基本系
A
D
B
Δ1
FSBA
FR1
FSCD
C Δ1
q
FR1=FSBA+FSCD=0
A
D
B
q
A ql2/8
B
C
MF
D
FR1F
FSBAF
q
FSABF ql2/8
C FSCDF
FR1F
FSDCF
FSBAF=-3ql/8
FSCDF=0
FR1F=FSBAF+FSCDF =FSBAF =－3ql/8
32
q
MF
A
32
C
EI=常数
D 4m
FR1
1
B
基本系 q
A
C Δ2 FR2
D
FR1F
C FR2F
B
32
FR1F
30 B 48
C FR2F
D
FR1F=32kNm
FR2F=－78kN
MBA=ql2/12=32kNm
FSBA=-ql/2=-48kN
k11
1 1
4i
3i
M1
2i
k11
k21
C
k11
3、建立位移法典型方程； 利用刚结点的力矩平衡条件和结构中某部分的投影平衡 条件求出刚结点处的约束力偶和约束力FRiF,kij；
4、解方程求解各基本未知量； 5、求各杆的杆端内力作内力图
6、校核。
例1
F
A
B
C
EI
EI
l
l/2 l/2
FR1 F
A
1
C
B
基本系
FR13FFl/16F
A
C
B
MF
A
k11
7、A 1
A
EI
l
杆端弯矩
杆端剪力
B
MAB
MBA
FSAB
FSBA
3i
0
-3i/l
-3i/l
8、
A
EI
l
B
Δ=1 －3i /l
0
3i/l2
3i/l2
9、 a F b
A
EI
l
q
10、
A
EI
l
杆端弯矩
杆端剪力
B
MAB
MBA
FSAB
FSBA
-Fb(l2-b2) /2l2
0 Fb (3l2b2)/2l 3 -Fa2(2l+b)/2l3
单跨超静定梁的内力可由力法求出，它是位移法计算的基础
1、单跨超静定梁的固端弯矩和剪力
F
A
C
a
b
F
BA
C
l
1
11 X1 12 X 2 1F 0 21 X1 22 X 2 2F 0
M1 l
11

l EI
22

l3 3EI
12

l2 2EI
1F

Fa2 2EI

M
F AB
A
MBA 0
q
B
EI l
FS AB


3i l

A

3i l2
AB

FF SAB
FS BA


3i l

A

3i l2
AB

FF SBA
φA A′
B′ ΔAB
B"
3、A端固定B端滑移支座的等截面梁，其杆端弯矩和剪力：
M AB

i A

M
F AB
MBA

i A

M
F BA
位移法：是以结构的结点位移为未知量，利用变形协调条件， 通过对单跨超静定梁系的计算，建立平衡条件，求 出结点位移，进而计算结构内力。
超静定结构——单跨超静定梁系——位移法基本思路
一、刚架结构
FC
B
1
1
EI=常量
l
不计杆长变化，结点B只有 转角位移而无线位移；
BA,BC杆B端角位移均为 1。
A l/2 l/2
6i
AB l

M
F BA
φA
FS AB


6i l

A

6i l
B
12i
l2
AB

FF SAB
A′
FS BA


6i l

A

6i l
B
12i l2
AB

FF SBA
B
B′ φB ΔAB
B"
2、A端固定B端铰支的等截面梁，其杆端弯矩和剪力：
M AB
3iA
3i
AB l
2C lA
A
6EI l2
AB
12EI l3
AB
EI
l
M FS
B
A
AB
X11
B
X22 AB
6EI l 2 AB
11X1 2 X 2 1C 0 21 X1 22 X 2 2C 0
11

l EI
22

l3 3EI
12

l2 2EI
1C 0
B
1
B
F
1
1
1
A
——变形协调条件
C
两者受力和变形完全相同；
不同的是：上图转角是由荷载 引起的，而下图的转角和力都 是外来因素作用在梁上。
FC
B
EI=常量
l＝
1
F
BB
1
1
C
1
A
l/2 l/2
A
FR1
FC
B
——附加刚臂
1
=
基本系
A
FR1 B
MBC
MBA
平衡条件： FR1 M BA M BC 0
4i
M1
k11=7i
1
FR1F k11
3Fl2 112EI
FC
B EI=常量
A
l/2 l/2
3Fl 28
11Fl 56
M
3Fl 56
FR1F B
FC
k11 1 1
3Fl
4i
16
3i
l
MF
M1
A
2i
1=3Fl2/112EI
M M11 MF
17F 28
11F 28
9F FS
第6章 位移法和*力矩 分配法
课件制作：黄孟生
第1节 等截面单跨超静定梁的杆端内力
单跨超静定梁受荷载作用以及杆端发生位移时的 杆端内力，可由力法求得。它们是位移法的基础.
符号规定：
MAB
A A FSAB
B
B MBA
FSBA Δ
杆端弯矩、杆端剪力、杆端转角及垂直于杆 轴线的杆端线位移，均以顺时针方向为正。
3i
B
4i
6i/l
D
k11=7i
C k21
k21=－3i/2
k12
6i/l
M2
6i/l
Δ2=1
k22
C
k12
6i/l
D
k12=－6i/l
k12
B 12i/l2
Δ2=1
C k22
3i/l2
k22=15i/16
解方程 得
7i1

3i 2
2

32

0
3i 2
1

15i 16
2

78

0
1

464 23i
12i/l2 12i/l2
3、 a F b
A
EI
l
q
4、
A
EI
l
杆端弯矩
杆端剪力
B
MAB
MBA
FSAB
FSBA
-Fab2/l2
Fa2b/l2
Fb2(1+2a/l)/l 3 -Fa2(1+2b/l)/l3
a=b
-Fl/8 Fl/8
F/2 -F/2
B －ql2/12 ql2/12 ql/2 -ql/2
B M1
Δ1 =1
C
k11
FSBAΔ
q
3i/l A
3i/l D
FSBAΔ=3i/l2
FSABΔ 3i/l