孙克辉

杨静利 丁家峰 盛利元
410083 ）
（ 中南大学物理科学与技术学院，长沙
（ 2010 年 1 月 26 日收到；2010 年 7 月 7 日收到修改稿）
为了研究混沌系统的性质及其应用， 采用分立元件 设 计 并 实 现 了 单 参 数 Lorenz 混 沌 系 统， 系统参数与电路元 观察到 了 该 单 参 数 系 统 的 极 限 环 、 叉 式 分 岔、 倍周期分岔和混沌等 件参数一一对应 . 通过调节电路中的可变电阻， 以及该系统由倍周期分岔进入混沌的过程 . 研究了分数阶单参数 Lorenz 系统存在 混 沌 的 必 要 条 件， 找 动力学现象， 出了分数阶单参数 Lorenz 系统出现混沌的最低阶数以及最低阶数随系统参数变化的一般规律 . 电 路 仿 真 与 电 路 实 现研究表明， 单参数 Lorenz 系统具有物理可实现性 、 丰富的动力学特性以及理论分析与实验结果的一致性 .
比较系统（ 2 ） 与系统（ 3 ） ， 可得各元件的取值为 R i = 10 k Ω （ i = 1 ， 2， 6， 10 ， 11 ， 18 ） ， R i = 1 kΩ（ i = 3， 4， 5， 17 ， 21 ， 22 ） ， R 7 = R 20 = 4 k Ω ， R 9 = R 15 = R 16 = 6 kΩ， R 12 = 100 k Ω ， R 8 = R 13 = 25 k Ω ， R 14 = c kΩ， R 19 = 51. 5 k Ω ， C 1 = C 2 = C 3 = 10 μ F . 特别是 R 14 = c k Ω ，其中 c 为系统 （ 1 ） 的 系 统 参 数， 这样改 变 R 14 的值等价于改变系统参数 c 的值 . 2. 3. 实验结果及动力学特性分析 依图 2 所示电 路 原 理 图 制 作 实 际 的 硬 件 电 路 . 在实验过 程 中， 开 始 采 用 普 通 的 模 拟 示 波 器 观 察， 但只看到有一个移 动 的 点， 并不能看到电子工作平 台（ EWB ） 仿 真 时 完 整 的 吸 引 子 相 图 . 经 分 析 后 发 现， 相对于人的视 觉 暂 留 时 间， 信 号 的 频 率 太 小. 因 此， 为了能 够 在 示 波 器 上 看 到 完 整 、 轨迹连续的吸 引子相图， 需 要 提 高 输 出 信 号 的 频 率， 即减小系统 也就是减小 的 时间常数 R 5 C 1 = R 17 C 2 = R 22 C 3 的值，
C2 ， C 3 （ 或电阻 R 5 ， R 17 ， R 22 ） 的值 . 在本设计 电容 C 1 ， C2 ， C 3 减小为 1 nF. 中采用将电容 C 1 ， 图 2 中电阻 R 14 为 连 续 可 调 电 阻， 其最大值为 10 kΩ . 通过调节 电 阻 R 14 的 值， 可以看到系统呈现 当 出不同的动 力 学 现 象 . 通 过 示 波 器 可 以 观 察 到， 10 ） 时， 系统参数 c ∈ （ 5. 926 ， 系 统 呈 现 为 周 期 的； 5. 926 ） 时， 当系统 参 数 c ∈ （ 0 ， 除一些小的周期窗 10 ） 时， 口外系统是混沌的 . 当 系 统 参 数 c ∈ （ 0 ， 将 电阻 R 14 的 值 逐 渐 减 小， 通过示波器可以看到极限 叉式分岔， 倍周 期 分 岔 到 混 沌 的 变 化 过 程， 如图 环， 3 所示 . 随着电阻 R 14 值 的 逐 渐 减 小， 系统由不动点 变为极限环（ 图 3 （ a ） ） ， 然后依次出现叉式分岔（ 图 3 （ b） ） ， 倍周期分岔 （ 图 3 （ c ） ） ， 四 周 期 （ 图 3 （ d） ） ， （ f ） ） . 当系统参数 c ∈ 直至系统出现混沌（ 图 3 （ e ） ， （0， 5. 926 ） 时， 5. 384 ） ， c ∈ （ 4. 146 ， 如 c ∈ （ 5. 365 ， 4. 188 ） ， c ∈ （ 2. 682 ， 2. 759 ） 等， 系统存在一些周期 窗口， 如图 4 所示 . 显 然， 在混沌保密通信的系统设
(
) )，
（3）
V3 =
·
1 R 22 C 3 ×
R 20 R 21 0. 1 V 1 V 2 － R 18 R 21 + R 19
x ′ = 10 （ y′ － x′） ，
R 18 + R 20 V3 . R 18
)
12 期
孙克辉等： 单参数 Lorenz 混沌系统的电路设计与实现
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图2
电路原理图
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报
59 卷
图3
参数 c 变化时系统（ 3 ） 在 x-z 平面的演化相图
（ a ） c = 7. 938 ，（ b ） c = 6. 932 ，（ c ） c = 6. 012 ，（ d ） c = 5. 986 ，（ e ） c = 5. 920 ，
（ f ） c = 4. 678
·
2. 2. 简化 Lorenz 系统电路设计 系统（ 1 ） 中的非线性 部 分 通 过 采 用 运 放 LM741 和乘法器 AD633 来 实 现 . 由 系 统 的 仿 真 图 可 知， 其 状态变量的变化范 围 均 超 出 了 运 放 、 乘法器的电源 故系 统 的 状 态 变 量 不 能 直 接 作 为 电 电压提供范围， 压变量， 在具体电路 实 现 时 需 将 系 统 的 状 态 变 量 进 行适当的比例变换 . 令 x′ = y′ = z′ = 则系统（ 1 ） 变换为
关键词 ： 混沌，分数阶微积分，Lorenz 系统，电路设计
PACC ： 0545
系统经倍周期分岔 进 入 混 沌 的 过 程 等 . 在 整 数 阶 简
1. 引
言
对 分 数 阶 简 化 Lorenz 化 Lorenz 系统电路 的 基 础 上， 系统进 行 了 电 路 设 计 与 实 现 . 得 到 了 分 数 阶 简 化 Lorenz 系统出现混 沌 的 必 要 条 件， 给出了微分算子 动态 阶数相同与 不 同 时 的 吸 引 子 相 图 . 理 论 分 析 、 仿真与硬 件 电 路 实 现 表 明 了 单 参 数 简 化 Lorenz 系 统电路设计的有效性 .
［ 2 —4 ］
现已有报道
， 但大多数工作仅仅是取某一组或
几组特定的参数来 证 实 系 统 为 混 沌 的， 并未就系统 的整个参数空间或 系 统 的 混 沌 特 性 进 行 讨 论 . 另 一 随着 对 混 沌 理 论 研 究 的 深 入， 人们发现当系 方面， 统的 微 分 算 子 阶 数 为 分 数 时 也 能 出 现 混 沌 状 态
［ 1］
， 人 们 研 究 了 多 个 变 形 的 Lorenz 混 沌 系 . 对 于 这 些 变 形 的 Lorenz 混 沌 系 统 的 电 路 实
［ 5 —7 ］
2. 整数阶单参数 Lorenz 系统的电路设 计与实现
2. 1. 简化 Lorenz 系统模型
［ 14 ］ 简化 Lorenz 系统的动力学方程为
q ［ 16 ］
3. 分数阶单参数 Lorenz 系统的电路设 计与实现
3. 1. 分数阶简化 Lorenz 系统 将 分 数 阶 微 分 算 子 替 换 简 化 Lorenz 系 统 中 的 则 分 数 阶 简 化 Lorenz 系 统 的 动 力 整数阶微分算子， 学方程为 系统
（4）
x = f （ x ） 出现混沌， 若系统 · 则分数阶
图4
参数 c 不同时系统（ 3 ） 的周期窗口
（ a ） c = 5. 372 ，（ b ） c = 4. 153 ，（ c ） c = 2. 724
计中应当避开这些周期窗口 .
dα x = 10 （ y － x ） ， dtβ dβ y = － xz + （ 24 － 4 c ） x + cy ， dtβ dγ z 8 = xy － z ， 3 dtγ 1 ） 是系统状态变量的微分 阶 数， 其中 α ， β， γ ∈ （0， 可取不同的值 . 引理
·
y ′ = （ 24 － 4 c ） x′ － 4 x′z′ + cy′， z ′ = 4 x′y′ － 8 z′ / 3 . （2）
·
根据数 学 模 型 与 基 本 的 运 算 电 路 （ 加 减 、 反相 积分） ， 设计出与系统（ 2 ） 相对应的电路如图 2 求和 、 V2 ， V 3 分别表示输出端点对地的 所示 . 设图 2 中 V 1 ， 电压， 根据电路理论 知 识 可 以 得 到 与 图 2 所 对 应 的 电路状态方程为 V1 =
第 59 卷 第 12 期 2010 年 12 月 10003290 /2010 /59 （ 12 ） /8385-08
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ACTA PHYSICA SINICA
Vol. 59 ， No. 12 ， December ， 2010 2010 Chin. Phys. Soc.
* 单参数 Lorenz 混沌系统的电路设计与实现
， 但
14 ］ 还有很多系统的混沌现象 未 被 研 究， 如 文 献［ 中 本文以单参数简化 Lorenz 系 统 为 研 究 对 象， 设 计并实现了该系统 的 硬 件 电 路 . 通 过 调 节 可 变 电 阻 即改变系统参数， 观察到了混沌系统典型的动力学 现象（ 如极限环 、 叉式分岔 、 倍 周 期 分 岔、 混沌） 以及
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59 卷
不同的拓扑结构， 具有丰富的动力学特性， 是混沌 理论与应用研究的新模型. 当系统参数 c Lorenz 系 统 ， 图 1 为 c = 3. 4 时 吸引子相图.
图1
系统（ 1 ） 吸引子相图
（ a ） x-y 平面，（ b ） x-z 平面，（ c ） y-z 平面