O
自治系统的相空间与相轨线 ●一个自治系统在其相空间上的相轨线不会相交， 即通过每一相点的轨线是唯一的。 而非自治系统中相轨线则会相交。如上述系统在二 维 ( ) 相平面上相轨线有相交情况。
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4. 彭加勒截面图
若沿方向截取一系列截面，则根据该自治系统的 性质，每个截面上只有一个交点，即相轨线一次 性的穿过每一个截面。 因 t 2n ，若以2 为周长，将相空间弯成 一圆环，则在该环形相空间上所取的任一固定截面 称为彭加勒截面。
注意：图(a)中的两条运动曲线的初值分别为x0=1， 0= 0和 x0=1.00001，0=0.00001。误差仅在小数点 后面第五位上，而给运动带来的差别正可谓“差之 毫厘，失之千里”。
●处于混沌状态时，系统的行为对于初值十分敏感， 称这一特性为混沌的初值敏感性。 x ---蝴蝶效应--运动的随机性 t ●相图(b)反映出混 沌运动的随机性。 即相轨道(运动状态) 完全不可预测。
注意：常数 并不只限于单摆公式，而是对所有同 一类的变换，所得的 值都精确地相同。 ● 的数值只与系统的某种非线性性质有关，而与 各个系统的其他具体细节无关。 ●反映出混沌演化过程中所存在的一种普适性. ●是混沌内在规律性的另一个侧面反映。
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费根鲍姆常数
标度因子 在倍周期分岔序列图中，同次周期分岔中上下的各 对周期点之间的距离之比，以及第相邻两次周期分 岔中的各对周期点之间的距离之比又趋于另一个常 数 ，称为标度因子或普适常数:


相轨线

Βιβλιοθήκη 相轨线12
2n
2
三维相空间
2(n 1)
2n
环形相空间
●相轨线在彭加勒截面上的交点的集合就称为 彭加勒截面图。 ◐通过分析相轨线在彭加勒截面上的交点的分布 规律，就可了解到在长时间周期性的演变过程 中系统的运动规律。


相轨线
= 2.5029078750958928
例如，图中
an lim = n a n 1
注意：当不满足 n ，则比值只是近似的。
线性系统（数学定义）： 若 f ( x ) 满足 f ( x1 x2 )
f ( x1 ) f ( x2 ) 则 f ( x) 是线性的； 若 g ( x) 为非线性，则 A g ( x1 x2 ) g ( x1 ) g ( x2 )
◐自由单摆的运动方程：
O d 2 g sin 当 很小， l 2 dt l m 2 N d g 线性近似： (sin ) 2 dt l 按级数展开，取第一项而得.
讨论 运动的演变 1. 线性近似下的单摆运动
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2
令 =0，退化为线性方程
三种情况： a. f= = = 0；b. f = =0；c. =0，相 应得出简谐振动、阻尼和受迫振动方程。 ◐简谐振动的相轨线：闭合圈---周期环---。
◐阻尼振动的相轨线：从外向内收缩的螺旋线，最 终停止于中点---不动点吸引子--- 。 ◐受迫振动：经过暂 态之后趋于一稳定的 闭合圈---周期吸引子 或极限环。
8
三、混沌的基本概念
1. 混沌定义（物理学上）：在确定性系统中所表现出 来的内在随机行为。是一个决定论的系统中所存在的 运动的不可预测性。 2. 相图 ●描述系统运动的各状态参量之间的关系图。 例：自由单摆（简谐振动）
d 2 0 2 dt A cos t , Asin t
x
t
(a)
v
v
v
x
(b) (c)
x
(d)
x
●混沌吸引子体现出混沌运动的内存规律性。
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初值悬殊的 三个吸引子
x
t
v v v
结论 ◐混沌行为具有 极为敏感的初值 依赖性；
x
x
x
◐然而混沌的全局特征——混沌吸引子却具有不依 赖于初值的、确定的规则。 ●貌似随机的混沌运动，其长期的演化行为遵从确 定的规律---混沌运动的内在规律性。 ◐这是混沌运动区别于真实随机运动的重要标志。
混沌带的合并 --从逆着混沌演化的方向，可找到混沌 带合并的规律：
2n 16 8 4 2 1 0
29
c. 普适性 若将第n倍周期分岔（或混沌带合并）时对应的参 数记为n，则相继两次分岔（或合并）的间隔之 比趋于同一个常数：
n n1 lim 4.66920160910299067 n n 1 n
2


O
◐简谐振动是周期运动，每隔一定的时间运动又复原， 所以相轨线 ( 为一闭合曲线。 )
9
3. 自治系统与非自治系统
●不显含时间 t 的动力学方程称为自治系统，而显含 时间 t 的动力学方程称为非自治系统。
◐由线性单摆 方程可得
（角谐振动）
不显含 t ，在二维相 2 空间中为自治系统。
非线性振动系统及混沌的基本概念
概述：混沌的发现 ●非线性系统的运动现象 ●蝴蝶效应 1961年冬的一天，美国麻省理工学院的气象学家爱德 华·洛仑兹在计算机上模拟天气情况，他的真空管计 算机速度约每秒做6次乘法。 经简化后的洛仑兹气象模型为
x ( y x) y (r z ) x y z xy bz
y 1 x ---抛物线方程 y xn1 , x xn ，得抛物线形迭代方程
2
2 n
xn1 1 x
xn
[0,2], xn [1,1]
在整个区间取值迭代便 得出由周期运动到倍周 期分岔，再进入混沌状 态的整个演化过程。
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倍周期分岔序列：12482n . ●当n，则解的数目，意味着系统已进入混 沌状态。将混沌开始时对应的 记为 ( =1.40115518909205 )。 通向混沌的其它道路 ●准周期道路：平衡态→周期→准周期→混沌. xn ●阵发混沌道路 2. 混沌区的结构 a. 窗口 ●在混沌区中重又出现 的周期性运动。 ◐窗口中包含着与整体 完全相似的结构。
4
若 为任意值， (sin ) 而 sin(1 2 ) sin 1 sin 2
A
故自由单摆为非线性振动系统：
O
令
d ，以及 t 0, 0 , 0 ， dt
d g sin 2 dt l
2

N
l
m
则上式变为
2g 2 2 2cos 1 cos 0 0 l 2
14
四、单摆与混沌
d 2x dx 单摆方程 ml l mg sin x F cos t 2 dt dt 1 3 按泰勒级数 sin x x x 取前两项近似， 6
适当代换，得到非线性振动方程（杜芬方程）
d x dx 3 x x f cos t 2 dt dt
从周期运动到倍周期分岔 ◎当 f = 0.8，系统的运动仍是 一个简单的周期运动。
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◎当 f =0.89，其结果为一个二倍周期的运动，即出 现了倍周期分岔。
说明：图中看上去的每一条曲 线实际上是完全重合的两条曲 线，它们的初始值略有差异： a. x0=1，0=0； b. x0=1.001，0=0.001. 结论： ●初始条件的微小差别对周期性运动不产生影响， 或者说周期运动对初值不敏感。 混沌运动 继续增大 f，当 =1.3，随机性运动取代了周期性运动， 表明系统已进入混沌状态。 18
周期三窗口
24

1
框内部分放大得下页图
25
2
框内再放大得下页图
26
3
27
2
1 3 混沌内部的自相似结构
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b. 自相似结构
看似混乱的混沌体系中，包含着丰富有序的内部结 构。 ◐任何局部的小区域都包含着整体的信息，具有与 整体完全相似的规律。 ●在混沌内部所包含的这种在不同尺度上的相似结 构称为自相似性。 ◎从拓扑空间上来讲，自相似结构的维数往往不是 整数维，而是分数维的，也就是具有分形的性质。
2
5
方程解的非唯一性 1. 设初始条件为
2g 2 2cos 1 cos 0 02 l 2
2
0= ，0= 0，则其解为
g 2 cos l 2
O
A

N
l
m
d 0 在最高点 = ， = 0， dt
运动分析：
系统非稳定平衡点。可能出现三种运动情况： a. 停留在该顶点，尔后径直下落； b. 调头沿原路返回； c. 越过该顶点继续向前运动。
(a)
v
v
v
x
(b) (c)
x
(d)
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x
混沌的内在规律性----混沌吸引子 图(a)中两条曲线的运动完全各异，但它们的彭加勒 截面图[(c)和(d)]却又是完全相同的。把混沌的相轨 线在彭加勒截面上的这种点集称为混沌吸引子。
◎混沌吸引子是非 线性耗散系统混沌 的特征，表明耗散 系统演化的归宿。 ◐代表混沌行为的 全局特征。
7
二、确定性系统中的内在随机性
●在一个确定性的系统中，由于其本身的非线性 性质所产生的运动随机性称为确定性系统的内在 随机性。 例如，上述非线性单摆的运动。 ◐支配整个系统运动的因素是严格确定的（具有确 定的运动方程），系统完全不存在随机力的作用。 ◐然而经过时间的演化，在这种确定性系统中出现 了随机行为，产生出完全不可预测的、极为复杂的 结果来，最后得到一条完全随机的运动轨道。
1
为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输 入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结果， 然后再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机 却偏离了上次的结果。 他第二次输入时去掉了小数点后面三位：