p ij rij
r
i 1
ij
（1）
(2)计算第j个指标的熵值 e j ：
e j k pij ln pij
i 1 m
其中
k 1 ln m
（2）
(3)计算第j个指标的熵权 w j ：
w j (1 e j )
(1 e )
j 1 j
n
（3）
(4)确定指标的综合权数 j：
si 3. 计算对象到理 评价对象到理想点的距离 S+为 想解和负理想解 评价对象到负理想点的距离 S- si 的距离 为
v
j 1 n j 1
n
ij
vj 2, i 1,2,...,m （
5） vij vj 2, i 1,2,...,m（6）
2
在具体应用时：
可根据各指标值的变异程度，利用熵来计算各指标的 熵权，利用各指标的熵权对所有的指标进行加权，从而得
出较为客观的评价结果
利用熵权法计算权重
•
我们将综合指标的重要性和指标提供的信息量这 两方面来确定各指标的最终权重。 现有m个待评项目，n个评价指标，形成原始数据 矩阵 R rij ：
指标上比其他项目更优。本例就是在表 1 的基础上对各项
目进行分析、评价和排序的。
表 1工程质量评价指标数据表 评价 指标 强度 78 87 82 防火 86 90 84 抗震 89 86 85 通风 84 89 82 采光 86 82 80 隔音 82 91 86 隔热 86 80 84 社会 环境 82 89 79 生态 环境 84 88 80 基础 设施 88 85 81
2. 确定理想 解 V+和负理 想解 V-
V
min v
ij
j J , max vi
1
j
j J i 1,2,3...,m
2
（4）
其中 J1代表效益型指标集合，该集合中指标值越大，表明评价对 象在该项指标上的表现越好；J2代表成本标型集合，该集合中的指 标值越小，表明评价对象在该项指标上的表现越好。
1870年玻尔兹曼发现了处于
同能级状态的分子个数的对 数值与熵值成正比。爱因斯 坦和普朗克也利用熵原理解 决科学研究中遇到的问题，
20 世纪后期，熵理论进入了 科技含量较高的高新技术行 业。
熵权法简述
熵原本是一热 力学概念，它 最先由申农 C. E.Shannon 引入信息论 ， 称之为信息熵。 现已在工 程 技术，社会经 济等领域得到 十分广泛的应 用。
0.2356 0.2628 V= 0.2477 0.2538 0.2522 0.2639 0.2463 0.2375 0.2602 0.2515 0.2485 0.2398 0.2435 0.2580 0.2377 0.2609 0.2544 0.2426 0.2367 0.2663 0.2412 0.2676 0.2529 0.2382 0.2552 0.2374 0.2493 0.2582 0.2445 0.2665 0.2365 0.2515 0.2507 0.2627 0.2388 0.2478 0.2643 0.2553 0.2432 0.2372

ci si 评价对象与理想解的相对贴近度为：
4. 计算相对 贴近度
/(si si )(0 ci 1, i 1,2,3...,m)
根据计算出的 ci值对各企业的投资价值进行排序，ci较大的 （7） 企业投资价值较优，反之，则较差。
评价过程
（1）.指标数据标准化 因为全部的评价指标越大越好，应用公式 （1）对指标数据进 行标准化，结果如下所示：
二、基本原理
•
根据信息论的基本原理 , 信息是系统有序程度的一个度量; 而熵是系统无序程度的一个度量。 若系统可能处于多种不同的状态。而每种状态出现的概率 为 p（ i i=1,2,……,m）时，则该系统的熵就定义为：
e pi ln pi
i 1 m
•
•
显然，当 p i =1/m（i=1,2,……,m）时，即各种状态出现的 概率相同时，熵取最大值，为：
r
j
emax ln m
i 1
现有 m 个待评项目， n 个评价指标，形成原始评价矩阵 m m r j 对于某个指标 有信息熵： R rij mn e j pij ln pij 其中 p r / r
•
ij ij

i 1
ij
从信息熵的公式可以看出：
11
1 如果某个指标的熵值越小，说明其指标值的变异程度越大， 提供的信息量越多，在综合评价中该指标起的作用越大， 其权重应该越大 如果某个指标的熵值越大，说明其指标值的变异程度越 小，提供的信息量越少，在综合评价中起的作用越小， 其权重也应越小
熵权法及其改进
主要内容
1、背 景 2、理 论 3、应 用举例 4、软件实现
熵权法
5、方 法改进
一、背 景
熵概念的产生
1948 年，申 农和维纳将通 信过程中信息 源信号的不确 定性称为信息 熵。
德国物理学家克劳 修斯于1856年创立 熵理论。
20 世纪 30 年代后熵理论进入 到化学研究领域。1945 年， 薛定谔把熵的概念运用到了生 物学领域中。
（2）.熵权值的计算
将 R 中标准化后的指标数据代入式(2)，求得各指标的 熵值ej，将熵值代入式(3)，可得到各指标的熵权值 wj， 结果见表 2：
表 2评价指标熵值及熵权值计算结果
指标 强度 0.999 4 0.101 6 防火 0.999 5 0.095 2 抗震 0.999 7 0.055 5 通风 0.999 5 0.097 7 采光 0.999 3 0.133 5 隔音 0.999 6 0.138 2 隔热 0.999 2 0.066 2 社会 环境 0.999 3 0.122 7 生态 环境 0.999 6 0.075 5 基础 设施 0.994 0.113 9
假设评估者根据自己的目的和要求将指标重要性 的 权 重 确 定 为 j ,j=1,2,…,n ， 结 合 指 标 的 熵 权 w j 就可以得到指标j的综合权数： i wi j m i wi
•
当各备选项目在指标j上的值完全相同时,该指标的熵 达到最大值1,其熵权为零。这说明该指标未能向决策 者供有用的信息,即在该指标下,所有的备选项目对决 策者说是无差异的,可考虑去掉该指标。因此,熵权本 身并不是表示指标的重要性系数 , 而是表示在该指标 下对评价对象的区分度。
84
81
82
90
90
81
87
84
83
79
评价的理论基础：理想解法综合评价的步骤 本文将权重 wj与目标矩阵 R=(rij)m×n中相对应的各
1. 构造加权规 范化矩阵 V
类指标分别相乘，得到加权规范化矩阵 V。 根据“大中取最大，小中取最小”的原则，确定理想解和负理想解 为： V max vij j J 1 , min vi j j J 2 i 1,2,3...,m
有中国水电一局
四局
，水电九局
，广东二局
，水电六局
，水电十
，水电四局
6家单位参加竞标，6
家单位标书初审均有效。评标专家组从商务标，技术标2个 方面对标书进行评审。商务标指标为：投标价 比 ，速动比 ，资金利用比 ，流动 ，
（4）.确定各企业的贴近度
根据式(5)~(6)计算出各评价企业与理想解和负理想解的距 离， 然后根据式(7)计算出各企业的贴近度，计算结果如表 3 所示:
表 3各企业距离和贴近度
项目 S+ S贴进度 项目1 0.0059 0.0047 0.5566 项目2 0.0036 0.0075 0.3243 项目3 0.0073 0.0028 0.7228 项目4 0.0063 0.0055 0.5339
mn
•
r11 r21 R r m1
r1n r2 n rm 2 rm 3 rm 4 mn r12 r22
其中rij 为第j个指标下第i个项目的评价值
•
求各指标值权重的过程为：
m
(1)计算第j个指标下第i个项目的指标值的比重 pij ：
熵值 熵权 值
（3）.确定理想解和负理想 解
经过计算，加权规范化矩阵 V 如下:
0.2390 0.0267 v 0.0252 0.0258 0.0240 0.0251 0.0235 0.0266 0.0144 0.0140 0.0138 0.0133 0.0238 0.0252 0.0232 0.0255 0.0340 0.0324 0.0316 0.0355 0.0333 0.0370 0.0350 0.0329 0.0169 0.0157 0.0165 0.0171 0.0301 0.0327 0.0290 0.0309 0.0189 0.0198 0.0180 0.0187 0.0301 0.0291 0.0277 0.0270
项目建设工程的质量评
价涉及很多内容。我们的例子是根据工
程建设质量控制的关键点，参考有关研
究资料，从安全性、适用性和协调性体系。如下图
工程质量评价指标体系
安全性
适用性
协调性
强
防
抗
通
采
隔
隔
度
火
震
风
光
音
热
社 会 环 境
生 态 环 境
基 础 设 施
邀请了有关专家对这些评价指标进行打分，结果如表 1 所示。该表中某一数值越大，则说明该数值对应的项目在此
根据评价准则可知，项目 3 的贴近度为 0.8644，所以其房地产项目建筑整体最 好，其次为项目 1(0.5566)和项目4(0.5339)，最后是项目 2(0.3243)。