习题一
1.1 任意抛掷一颗骰子,观察出现的点数.设事件A 表示“出现偶数点”,事件B 表示“出现的点数能被3整除”.
(1) 写出试验的基本事件空间,把事件A 及B 表示为基本事件的集合;
(2) 事件
B A AB B A A ,,,,
分别表示什么事件? 并把它们表示为基本事件(即样本点)的集合.
1.2 袋中有10个球,分别标有号码1～10, 其中1, 2, 3, 4, 5号球为红球, 6, 7, 8号球为白球, 9, 10号球为黑球.设试验为
(1) 从袋中任取一球,观察其颜色;
(2) 从袋中任取一球,观察其号码.
分别写出两个试验的基本事件空间,并指出其中的基本事件是否是等可能的.
1.3 设A ,B ,C 为三个事件,试将下列事件用A ,B ,C 表示出来:
(1) 三个事件都不发生;
(2) 三个事件不都发生;
(3) 三个事件恰有一个发生;
(4) 三个事件恰有两个发生;
(5) A 发生,B 与C 都不发生;
(6) A 与B 都发生,C 不发生;
(7) 三个事件至少有一个发生;
(8) 三个事件至少有两个发生;
(9) 三个事件至多有两个发生;
(10) 三个事件至多有一个发生.
1.4 设A ,B 为随机事件,试证明下列等式: (1) B B A B A =;
(2) BC AC C B A -=-)(;
(3) AB A B A B B A -=-=-)( ;
(4) )()()(A B B A AB B A --=- .
1.5 从分别标有1至n 2的n 2张卡片中无放回地任取3张,求卡片号大于、小于和等于n 的各有一张的概率.
1.6 某班有12名学生是在1987年出生的,求:
(1) 这12名学生中至少有两人是在同一天出生的概率;
(2) 这12名学生中至少有一人是五月一日出生的概率.
1.7 把10本书任意地放在书架上,求其中指定的5本书放在一起的概率.
1.8 某人的5把钥匙中有2把可以打开房门.现在他无放回地试开房门,求:
(1)第三次打开房门的概率;
(2)三次内打开房门的概率.
1.9 N 件产品中有M 件废品,其余为合格品.现从中任取n 件()1M N n -≤≤),求其中恰有k (n k ≤)件废品的概率.
1.10 将3个球随机地投入到四个盒子中,求下列事件的概率:
(1) A —三个球分别投入不同的盒子;
(2) B —三个球投入到同一个盒子中;
(3) C —某个盒子中恰有两个球.
1.11 为了减少比赛场次,把20个球队任意分成两组(每组10个队),求最强的两个队被分在不同组内的概率.
1.12 从6双不同的手套中任取4只,求:
(1) 其中恰有一双的概率;
(2) 其中一双也没有的概率.
1.13 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊,他们在一昼夜内到达的时刻是等可能的. 如果甲船的停泊时间是一小时,乙船的停泊时间是两小时,求它们中的任何一艘船到达时都不需要等候码头空出的概率.
1.14 把长度为l 的细棒任意折成三段,求这三段能构成一个三角形的概率.
1.15 在]1,0[中任取三点Z Y X ,,, 求线段,,能构成三角形的概率.
1.16 从1~100这一百个数中任取一个数,求这个数能被6或8整除的概率.
1.17 某人外出旅游两天,据天气预报,第一天下雨的概率为0.7, 第二天下雨的概率为0.4, 至少有一天下雨的概率为0.8.
(1) 求两天都不下雨的概率;
(2) 求两天都下雨的概率;
(3) 如果第一天下雨的概率未知,求第一天下雨第二天不下雨的概率.
1.18 试证明下列各命题:
(1) 设p A P =)(, p B P -=1)(, 其中10<<p . 则0)(>B A P .
(2) 设A ,B ,C 为事件,则)()()()()(ABC P BC P AC P C P C B A P +--=.
1.19 设41)()()(=
==C P B P A P , 10
1)()(==BC P AC P , 0)(=AB P . 求: (1) 事件A ,B ,C 全不发生的概率; (2) C 发生而A 和B 都不发生的概率.
1.20 在桥牌比赛中,把52张牌随机地分发给东、南、西、北四家(每家各13张).求北家的13张牌中, (1)有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张梅花的概率;(2)至少缺一种花色的概率.
1.21 袋中有a 只白球和b 只黑球,从中不放回随机地取球,每次一只,直至袋中剩下的球的颜色都相同为止.求最后剩下的全是白球的概率.
1.22 把字母A, A, T, T, C, K 分别写在一张卡片上,充分混合后一张一张取出,问按取出的顺序恰好得到单词“ATTACK ”的概率.
1.23 设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件中有一件是不合格品,求另一件也是不合格品的概率.
1.24 袋中有三个球,其中黑球一个白球两个. 一次次从袋中摸球,每次摸球后不把此球放回,而是放进一只白球. 求第n 次摸球时摸到白球的概率.
1.25 箱子中有100部西门子手机,其中90部是合格品,另外10部是次品.从箱中随机地不放回抽取手机,每次一件.若取得合格品后就不再抽取.求三次内能取得合格品的概率.
1.26 已知某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1, 它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1. 当有一台机床需要修理时,求这台机床是车床的概率.
1.27 发报台分别以概率0.6及0.4发出两种信号“⋅”和“-”.由于干扰,在接收站,信号“⋅”被误收为“-”的概率为0.2, 而“-”被误收为“⋅”的概率为0.1.
(1) 求接收站收到信号“⋅”的概率;
(2) 若接收站收到信号“-”, 求发报台确系发出“-”的概率.
1.28 某求职人员接连参加了用人单位组织的两次考试,第一次及格的概率为p . 若第一次及格,则第二次及格的概率也为p ; 若第一次不及格,则第二次及格的概率 为2
p . (1) 若至少有一次及格,则他能被留用.求他能被留用的概率;
(2) 若已知他第二次考试及格,求他第一次考试及格的概率.
1.29 已知4.0)(=A P , 7.0)(=B A P , 求)|(A B P ; 若事件A 与B 相互独立, 求)|(B A P
1.30 三个人独立地去破译一份密码,他们能译出的概率分别为
51,31,41. 问能将此密码译出的概率是多少?
1.31 一个工人看管三台机床,在一小时内这三台机床不需要工人照管的概率分别是0.9, 0.8, 0.7. 求在一小时内三台机床至多有一台需要工人照管的概率.
1.32 设有8个可靠性相同的电子元件平均分成两组,每组的4个元件分别串联后再把两组并联. 若要求如此构成的电路系统的可靠性不低于84%, 问每个元件的可靠性至少是多少?。