其中 x1, x2, , xn 在集合{0,1}中取值.
总体、样本、样本值的关系
事实上, 我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值. 比如我 们从某班大学生中抽取 10 人测量身高, 得到 10 个数. 它们是样本 取到的值而不是样本. 我们只能观察到随机变量取的值而见不到随
机变量.
总体(理论分布)？
则样本的概率分布为
p( x1，x2 ,
, xn ) P{ X1 x1, X2 x2 ,
n
p( xi ).
, Xn xn }
i 1
例 设总体X ~ P( ), ( X1, X 2 , , X n )为其样本，
则样本的概率分布为：
n
P{ X1 i1 , X2 i2 , , X n in } P{ X ik }
然而在统计研究中，人们往往关心每个个体的一项 (或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.
灯泡的寿命
国产轿车每公里 的耗油量
该批灯泡寿命的 全体就是总体
所有国产轿车每公里耗油 量的全体就是总体
由于每个个体的出现带有随机性，即相应的数量指标 值的出现带有随机性。从而可把此种数量指标看作随 机变量，我们用一个随机变量或其分布来描述总体。 定义 统计学中称随机变量（或向量）X为总体，并把
样本值
样本
统计是从手中已有的资料 — 样本值, 去推断总体的情况 —总体
分布F(x)的性质. ?样? 本? 是联系二者的桥梁
总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值
的规律， 因而可以由样本值去推断总体.
分散、复杂
是总体的代表, 含有总体的信息
二、统计量
由样本推断总体特征,需要对样本进行“加工”,“提 炼”.这就需要构造一些样本的函数,它把样本中所含 的信息集中起来.
1. 定义
定义4.3 设( X1, X2 , , Xn )为总体X的一个样本，称此样本 的任一不含总体分布未知参数的函数h( X1, X2 , , Xn )为 该样本的统计量.
解 总体 X 的概率分布为 P{X i} pi (1 p)1i
P{ X1 x1, X 2 x2 , , X n xn }
(i 0, 1)
P{ X1 x1}P{ X2 x2 } P{ Xn xn }
n
n
xi
n xi
pi1 (1 p) i1
获取方法
（1）有放回取样 （2）不放回取样（总体规模很大）
(3) 样本分布
样本(X1,X2, ,Xn)的联合分布.
设总体X ~ F( x),
样本(X1,X2, ,Xn)，( x1，x2 , , xn )为样本值，
则(X1,X2 , ,Xn ) ~ F ( x1，x2 ,
n
, xn ) F ( xi )
第四章
数理统计的基础知识
数理统计是研究统计工作一般原理和方法的科学，它主要阐
述搜集、整理、分析统计数据，并据以对研究对象进行统计
推断的理论和方法，是统计学的核心和基础。
数理统计的任务就是在概率论的基础上研究怎样以 有效的方式收集、整理和分析可获得的有限的, 带 有随机性的数据资料,对所考察问题的统计规律性尽 可能作出精确而可靠的推断或预测，为采取一定的 决策和行动提供依据和建议.
数理统计与概率论是两个有密切联系的学科， 它们都以随机现象的统计规律为研究对象。 但在研究问题的方法上有很大区别：
概率论 —— 已知随机变量服从的分布规律, 寻求 分布的性质、数字特征、及其应用;
数理统计—— 通过对实验数据的统计分析,寻找 所服从的分布和数字特征, 从而 推断整体的规律性.
数理统计的核心问题——由样本推断总体
n维r.v.(抽样具有随机性）
样本容量：样本中所含的个体的数目n.
样本值：样本的一次观察值或实现值 ( x1, x2 , xn ).
(2) 简单随机样本 1. 代表性： X1,X2,…, Xn中每一个与所考察的总体X 有相同的分布.
2. 独立性： X1,X2,…, Xn是相互独立的随机变量.
满足上述两条性质的样本称为简单随机样本. 注：以后所考虑的样本均为简单随机样本， 并简称为样本.
数理统计的一般步骤： 数据资料的收集 数据的整理、分析
统计推断
4.1 总体与样本 4.2 统计量 4.3 常用的统计分布 4.4 抽样分布
一、总体与样本
1、总体与个体；总体分布
总体： 具有一定的共同属性的研究对象全体. 个体： 总体中每个对象或成员。
总体
总体 …
研究某批灯泡的质量
考察国产 轿车的质量
k 1
n ik e
sn
e n
k1 ik !
i1 !i2 ! in !
其中ik(1 k n)取非负整数，而sn i1+i2+ +in.
练习：设总体 X 服从两点分布b(1, p), 其中0 p 1, ( X1, X2 , , Xn )是来自总体的样本, 求样本 ( X1, X2 , , Xn ) 的概率分布.
i 1
称之为样本分布.
特别地，若设连续型总体X ~ f ( x), n
则样本(X1,X2, ,Xn)~ f ( x1，x2 , , xn ) f ( xi ). i 1
例 正态总体X ~ N (, 2),
样本(X1,X2 , ,Xn )，( x1，x2 , , xn )为样本值，
X ~ (x)
随机变量（或向量）X的分布称为总体分布.
通常，我们用随机变量X , Y , Z,…, 等表示总体。
注：总体的分布一般来说是未知的，统计学的主要 任务正是要对总体的未知分布进行推断.
正态分布总体
总体
有限总体 无限总体
总体
指数分布总体 二项分布总体

2、样本与样本值；样本分布
(1)样本：从总体中抽取的部分个体 ( X1, X2 , Xn ).
1
2
exp{
( x )2 2 2
}
n
(X1,X2, ,Xn )~ ( x1，x2 , , xn ) ( xi )
i 1

n
i 1
1
2
exp{
(
xi
2

2
)2
}
(

1
2
)n
exp{
1
2
2
n
( xi )2 }.
i 1
离散型总体X的概率分布为p( x) P{ X x},