解直角三角形常见的四种类型
有关解直角三角形题历来都是重点内容，现就两直角三角形组合形式的常见应用题作一归类：
1、“背靠背”型 这种类型的特点是：两直角三角形是并列关系，
有公共直角顶点和一条公共直角边，其中，这条公共直角边是沟通两
直角三角形关系的媒介，如图1．
例1光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方
向的公路以50 m/min 的速度向正东方向行走，在A 处测得建
筑物C 在北偏东60°方向上，20min 后他走到B 处，测得建筑物
C 在北偏西45°方向上，求建筑物C 到公路AB 的距离． （已知3 1.732≈） 分析：欲求建筑物C 到公路AB 的距离，需过点C 作C
D ⊥AB ，垂足为D ，则图2转化为形如图1的图形．
解：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．设CD =x （m ），在Rt △BCD 中，∠BCD=45°，∴BD=CD=x ，AD=AB-BD=1000-x ．在Rt △ACD 中， ∠ACD=60°，tan ∠ACD=CD AD ，∴tan60°=CD AD ，即 3=x
x -1000，解得x ≈366，即建筑物C 到公路AB 的距 离约为366m ．
例2热气球的探测器显示，从热气
球看一栋高楼顶部的仰角为︒30，看这栋高楼底部的俯角为︒60，
热气球与高楼的水平距离为66 m ，这栋高楼有多高？（结果
精确到0.1 m ，参考数据：73.13≈）
解：如图3，过点A 作BC AD ⊥，垂足为D （转化为图1），
根据题意，可得︒=∠30BAD ，︒=∠60CAD ，66=AD ．
在Rt △ADB 中，由AD
BD BAD =∠tan ，得BD=A D ·tan ∠BAD= 66⨯tan30°=66⨯33=223．在Rt △ADC 中，由tan ∠CAD=AD
CD ，得CD=AD ·tan ∠CAD=66 tan60°=66⨯3=663，∴BC=BD+CD=223+663=883≈152.2，即这栋高楼约高152.2m ．
2、“母抱子”型 这种类型的特点是，一个直角三角形包含在
另一个直角三角形中，两直角三角形有公共直角和一条公共直角边，
其中，这条公共直角边是沟通两直角三角形关系的媒介，如图4．
例3永乐桥摩天轮是天津市的
标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．
如图5，他们在C 处测得摩天轮的最高点A 的仰角为45°，
再往摩天轮的方向前进50m 至D 处，测得最高点A 的仰
角为60°．求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB （732.13≈，结果保留整数）． 解：根据题意，可知∠ACB=45°，∠ADB=60°， DC=50．在R t △ABC 中，由∠BAC=∠BCA=45°，
得BC=AB ．在Rt △ABD 中，由tan ∠ADB=BD AB ，得BD=ADB AB ∠tan =060
tan AB =33A B ．∵BC-BD=DC ，∴AB-33AB=50，即（3-3）AB=150．∴AB=1183
3150≈-．即摩天轮的高度AB 约为118m ．
例4在一次课外实践活动中，同
学们要测量某公园人工湖两侧A B ，两个凉亭之间的距离．现测
得30AC =m ，70BC =m ，120CAB ∠=°，请计算A B ，两
个凉亭之间的距离．
分析：根据现有知识，不能直接求出AB 的长．过C 点作
C D ⊥AB ，交BA 的延长线于点D ，则图形6就转化为形如图4的图形．
解：过C 点作C D ⊥AB ，交BA 的延长线于点D ．在R t △CDA 中，AC=30，∠CAD=180°-∠CAB=180°-120°=60°，则AD=A C ﹒cos ∠CAD =30×2
1=15，CD= A C ﹒sin ∠CAD =30×2
3=153．在R t △CDB 中，由勾股定理，得BD=22CD BC -=65，因此， AB=65-15=50(m)． 评析：从例1、例2和例 4看出，解斜三角形问题时，常需
作一边的高线，转化为“背靠背”或“母抱子”型的图形．
3、“拥抱”型 这种类型的特点是：两直角三角形以交叉
方式出现，如图7．
例5如图8所示，小杨在广场上的A 处正面观测一
座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D 处的仰角
为30º，然后他正对大楼方向前进5m 到达B 处，又测
得该屏幕上端C 处的仰角为45º．若该楼高为26.65m ，小杨的眼睛离地面1.65m ，
广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐．求广告屏幕上端与下端之间的距离（ 3 ≈1.732，结果精确到0.1m ）．
解：设AB 、CD 的延长线相交于点E ，如图8．∵∠CBE =45º，CE ⊥AE ， ∴CE =BE ．∵CE =26.65-1.65=25 ，∴BE =25 ，∴AE =AB +BE =30 ．在Rt △ADE 中，
∵tanDAE=AE DE ，∠DAE =30º ，∴DE =AE ×tan30 º=30×33 =10 3 ．∴CD =CE -DE =25-10 3 ≈25-10×1.732=7.68≈7.7(m) ，即广告屏幕上端与下端之间的距离约为7.7m ．
4、“斜截”型 这种类型的特点是，在一个直角三角形内，用
垂直于斜边的一条直线去截这个直角三角形，如图9．新直角三角
形与原直角三角形有一个公共锐角，所剩四边形的对角互补．
例6 某片绿地的形状如图10，其中∠A=60°，
AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB=200m ，CD=100m ，求AD 、
BC 的长．（精确到1m ，732.13≈．）
分析：基于已知AB ⊥BC ，AD ⊥CD 的考虑，
可以将边AD 、BC 延长交于点E ，这样，图形
就转化为形如图9的图形．
解：在Rt △C DE 中，CD=100，
∠E=90°-∠A=30°，∴CE=2CD=200，DE==-22CD CE
1003．在Rt △ABE 中，∠E= 30°，AB=200，∴AE=2AB=400，BE=20022=-AB AE 3，因此，AD=AE-DE=400-1003≈227(m)，BC=BE-CE=2003-200 ≈146(m)．
评析：解两对角均为直角的四边形问题时，常需延长两对边，得到形如图10的图形． 总之，直角三角形的习题基本都是基本图形，熟记这些图形和他们的组合有利于解答综合习题，更有利于解答速度和自信心的提高。