几何图形旋转变换1.已知：在ABC ∆中，AC BC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且BC AD =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论BNE AMF ∠=∠（不需证明）． （2）当点D 旋转到图2或图3中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．图2图3图1AD2、已知：在四边形ABCD中，A D∥BC，∠BAC=∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF=∠ACD,试探究AE与EF之间的数量关系。

（1）如图1，若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数量关系为______________; （2）如图2，若AB=BC，你在（1）中的得到的结论是否发生变化？写出你的猜想，并加以证明；（3）如图3，若AB=KBC，你在（1）中的得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.L3．如图1，ABC △的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且A C B C =；EFP △的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =．（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP △沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足图1的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将EFP △沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长 线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立， 图2给出证明；若不成立，请说明理由．L4．（1）如图1，四边形ABCD 中，CB AB =，︒=∠60ABC ，︒=∠120ADC ，请你 猜想线段DA 、DC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，四边形ABCD 中，BC AB =，︒=∠60ABC ，若点P 为四边形ABCD 内一点，且︒=∠120APD ，请你猜想线段PA 、PD 、PC 之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论．图2图１5. 在ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究：①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转90得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E逆时针旋转90得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6,tanB=43,AE=1,在①的条件下，设CP1=x，S11P FC=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.6.△ABC是等边三角形，P为平面内一个动点，BP=BA，若0°＜∠PBC＜180°，且∠PBC的平分线上一点D满足DB=DA，(1)当BP和BA重合时(如图1)，∠BPD= °(2)当BP在∠ABC内部时(如图2)，求∠BPD(3)当BP在∠ABC外部时，请直接写出∠BPD，并画出相应的图形7．我们知道：将一条线段AB 分割成大小两条线段AC 、CB ，若小线段CB 与大线段AC 的长度之比等于大线段AC 与线段AB 的长度之比，即...49896180339887.0215=-==AB AC AC CB 这种分割称为黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点.（1） 类似地我们可以定义，顶角为︒36的等腰三角形叫黄金三角形，其底与腰之比为黄金数，底角平分线与腰的交点为腰的黄金分割点.如图24-1，在ABC ∆中，︒=∠36A ，,AC AB =ACB ∠的角平分线CD 交腰AB 于点D ，请你说明D为腰AB 的黄金分割点的理由.(2) 若腰和上底相等,对角线和下底相等的等腰梯形叫作黄金梯形,其对角线的交点为对角线的黄金分割点. 如图24-2,AD ‖BC ,DC AD AB ==,BC BD AC ==,试说明O 为AC 的黄金分割点.(3)如图24-3,在ABC Rt ∆中,︒=∠90ACB ,CD 为斜边AB 上的高，ACB B A ∠∠∠、、的对边分别为c b a 、、.若D 是AB 的黄金分割点，那么c b a 、、之间的数量关系是什么？并证明你的结论.24-1 图24-2 图24-3图图图321A B CDEQPGPQ EDCBAP QEDC BA F 8．在矩形ABCD 中，点E 是AD 边上一点，连结BE ，且BE ＝2AE ， BD 是∠EBC 的平分线．点P 从点E 出发沿射线ED 运动，过点P 作PQ ∥BD 交直线BE 于点Q ．（1）当点P 在线段ED 上时（如图①），求证：BE PD PQ +； （2）当点P 在线段ED 的延长线上时（如图②），请你猜想3BE PD PQ、、三者之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（3）当点P 运动到线段ED 的中点时（如图③），连结QC ，过点P 作PF ⊥QC ，垂足为F ，PF 交BD 于点G ．若BC ＝12，求线段PG 的长．9.如图，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转得到△E D C ''（使E BC '∠＜180°），连接D A '、E B '，设直线E B '与AC 交于点O.（1）如图①，当AC=BC 时，D A ':E B '的值为 ；（2）如图②，当AC=5，BC=4时，求D A ':E B '的值； （3）在（2）的条件下，若∠ACB=60°，且E 为BC 的中点，求△OAB 面积的最小值.图① 图②10.将边长OA=8，OC=10的矩形OABC 放在平面直角坐标系中，顶点O 为原点，顶点C 、A 分别在x 轴和y 轴上.在OA 、OC 边上选取适当的点E 、F ，连接EF ，将△EOF 沿EF 折叠，使点O 落在AB 边上的点D 处．图① 图② 图③ （1）如图①，当点F 与点C 重合时，OE 的长度为 ；（2）如图②，当点F 与点C 不重合时，过点D 作D G ∥y 轴交EF 于点T ，交OC 于点G .求证：EO=DT ；（3）在（2）的条件下，设()T x y ，，写出y 与x 之间的函数关系式为 ，自变量x 的取值范围是 ；（4）如图③，将矩形OABC 变为平行四边形，放在平面直角坐标系中，且OC=10，OC 边上的高等于8，点F 与点C 不重合，过点D 作D G ∥y 轴交EF 于点T ，交OC 于点G ，求出这时()T x y ，的坐标y 与x 之间的函数关系式（不求自变量x 的取值范围）．FEDCBA11.(1)如图25-1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD.求证:EF ＝BE ＋FD;(2) 如图25-2在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？ 不用证明.(3) 如图25-3在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.12. 如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于Q .探究：设A 、P 两点间的距离为x .(1)当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与PB 之间有怎样的 数量关系？试证明你的猜想；(2)当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ， 求y 与x 之间的函数关系，并写出函数自变量x 的 取值范围；(3)当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能,指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置.并求出相应的x 值，如果不可能，试说明理由.(答题卡上有备用图可供使用)QPDCB A13．两个全等的三角形ABC和DEF重叠在一起，△ABC的面积为3，且AB CB=．固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：（1）如图①，△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积；（2）如图②，当D点B向右平移到B点时，试判断CE与BF的位置关系，并说明理由；（3）在（２）的条件下，若15AEC∠=︒，求AB的长．A EDA E14.如图24－1，正方形ABCD 和正方形QMNP ， M 是正方形ABCD 的对称中心，MN 交AB 于F ，QM 交AD 于E ．（1）猜想：ME 与MF 的数量关系（2）如图24－2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠M =∠B ，其它条件不变，探索线段ME 与线段MF 的数量关系，并加以证明．（3）如图24－3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB:BC=1:2，其它条件不变，探索线段ME 与线段MF 的数量关系，并说明理由．（4）如图24－4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且∠M =∠B ，AB:BC = m ，其它条件不变，求出ME ：MF 的值。

（直接写出答案）ND15．如图1，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． 解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC=90º．①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图2，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ，数量关系为 ．②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图3，①中的 结论是否仍然成立，为什么？（2）①如果AB=AC ，∠BAC≠90º，点D 在射线BC 上运动．在图4中同样作出正方形ADEF ，你发现（1）问中的结论是否成立？不用说明理由； ②如果∠BAC=90º，AB≠AC ，点D 在射线BC 上运动．在图5中同样作出正方形ADEF ，你发现（1）问中的结论是否成立？不用说明理由；（3）要使（1）问中CF ⊥BC 一个．．条件，（点C 、F 重合除外）？画出相应图形（画图不写作法），并说明理由；ABCDEF图1图2FEBAF EDCB A图3（4）在（3）问的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，设AC＝22，BC=23，求线段CP长的最大值．解：16．如图，已知等边三角形ABC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你连结EN，并判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请写出结论，并说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF 的数量关系是否仍然成立? 若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点M在点C右侧时，请你判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立? 若成立,请直接写出结论；若不成立，请说明理由．NMDCBA（第23题图1） （第23题图2） 22．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个 四边形的一对等高点.例如：如图1,平行四边形ABCD中，可证点A 、C 到BD 的距离相等，所以点A 、C 是 平行四边形ABCD 的一对等高点，同理可知点B 、D也是平行四边形ABCD 的一对等高点. 图1（1）如图2，已知平行四边形ABCD , 请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE （要求：画出必要的辅助线）；（2）已知P 是四边形ABCD 对角线BD 上任意一点（不与B 、D 点重合），请分别探究图3、图4中S 1, S 2, S 3, S 4四者之间的等量关系(S 1, S 2, S 3, S 4分别表示△ABP ,△CBP , △CDP , △ADP 的面积)：① 如图3，当四边形ABCD 只有一对等高点A 、C 时，你得到的一个结论是 ；② 如图4，当四边形ABCD 没有等高点时，你得到的一个结论S 2S 1S 4S 3S 4S 3S 2ABCPDABCPDS 1图2 图3 图424．在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流.原问题：如图1，已知△ABC, ∠ACB=90︒, ∠ABC=45︒，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE, 且DA=DB, EB=EC，∠ADB=∠BEC=90︒，连接DE交AB于点F. 探究线段DF与EF的数量关系.小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形，通过推理使问题得解.小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC=30︒,∠ADB=∠BEC=60︒.小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若∠ABC=30︒，∠ADB=∠BEC=60︒，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明； （3）如图3，若∠ADB =∠BEC =2∠ABC , 原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.图 1 图 2图325．（本题满分8分）请阅读下列材料：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如右图1,若弦AB 、CD 交于点P 则PA ·PB=PC ·PD .BADFDACEFBEFBAD已知⊙O 的半径为2，P 是⊙O 内一点，且OP=1，过点P 任作一弦AC ，过A 、C 两点分别作⊙O 的切线m 和n ，作PQ ⊥m 于点Q ，PR ⊥n 于点R.（如图2） (1)若AC 恰经过圆心O ,请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：PRPQ 11+的值；(2)若OP ⊥AC, 请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：PRPQ 11+的值； (3)若AC 是过点P 的任一弦（图2）, 请你结合(1)(2)的结论, 猜想：PR PQ 11+的值，并给出证明．（图3）（图4）m。