姓名_________
准考证号__________
长沙市一中2020届高三月考试卷(七)
数学(理科)
注意事项:
1. 本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 回答第I 卷时，将答案写在答题卡，上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一-并交回。
第I 卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U=Z ，A={1,2,3,4},B={
}(1)(3)0,x x x x z +->∈,则A ()U C B I =
A. {1,2}
B. {2,3}
C. {1,2,3}
D. {1,2,3,4} 2.已知复数12i z i
-=
+，则z 的共轭复数z = A. 1355i - B. 1355i + C. 1355i -- D. 1355
i -+ 3.函数1(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是
4.
61-2)(1)t t +（的展开式中，t 项的系数为 A.20 B.30 C.-10 D.-24
5.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数(注:素数也叫做质数)猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一 ,可以这样描述:存在无穷多个素数p 使得p+2是素数,素数对(p ，p+2)称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率为
A. 114
B. 17
C. 314
D. 13
6.如图所示的程序框图，则输出的x 、y 、z 的值分别是
A. 13009, 600, 11203
B.1200, 500,300
C.1100, 400, 600
D.300,500, 1200 7.若37[,],sin 2428
ππθθ∈=，则sin θ= A. 35 B. 45 C. 74 D. 34
8.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线C:y 2=2px (p>0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的一点,若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π,则p=
A.2
B.4
C.6
D.8
9.在三棱锥P-ABC 中,PA ⊥平面ABC,△ABC 为等边三角形,PA=AB,E 是PC 的
中点,则异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为 A. 16 B. 14 C. 13 D. 12
10.直线x =2与双曲线22
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x y -=的渐近线交于A 、B 两点，设P 为双曲线上任意一点， 若(,,OP aob bOB a b R O =+∈u u u r u u r u u u r 为坐标原点),则下列不等式恒成立的是 A. 2ab =. B. 22
4a b +≥ C. 2a b -≥ D. 2a b +≥
11.已知函数()cos sin 2f x x x =给出下列命题:
①x R ∀∈,都有()()f x f x -=-成立;
②存在常数0T x R ≠∀∈，恒有()()f x T f x +=成立; ③f (x )23 ④y =f (x )在[,]66
ππ-上是增函数. 以上命题中正确的为
A.①②③④
B.②③
C.①②③.
D.①②④
12.已知函数21()ln (1)(0)2
f x x ax a x a a =-
+-+>的值域与函数f (f (x ))的值域相同,则a 的取值范围为
A. (0,1]
B. (1,+∞) C:(0. 43] D.[ 4+)3
∞， 第II 卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.
13.已知向量(1,4),(2,)a b k ==-r r ，且(2)a b +r r 与
2)a b -r r （共线，则实数k =________ 14.某中学有学生3600名,从中随机抽取300名调查他们的居住地与学校之间的距离，其中不超过1公里的学生共有15人,不超过2公里的学生共有45人，由此估计该学校所有学生中居住地到学校的距离在(1,2]公里的学生有_____人
15.如图所示,在正四棱锥P- ABCD 中,底面ABCD 是边长为4的正方形,E 、F 分别是AB 、CD 的中点，cos ∠PEF=22
,若A,B,C,D,P 在同一球面上,则此球的体积为______ 16.如图,在△ABC 中,AC ⊥BC,D 为BC 边上的点,M 为AD 上的点,CD=1,∠CAB=∠MBD =∠DMB,则AM=__________。
三、解答题:本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17. (本小题满分12分)
已知等差数列{}n a 和递增的等比数列{}n b 满足:a 1=1,b 1=3且b 3= 2a 5 +3a 2,b 2=a 4+2.
(1)分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;
(2)设S n 表示数列{}n a 的前n 项和,若对任意的,n n n N kb S *∈≥恒成立,求实数k 的取值范围.
18. (本小题满分12分) .
如图,三棱柱ABC- A l B l C 1中,AC= BC,AB= AA 1,∠BAA 1 = 60°.
(1)求证:A 1C ⊥B 1A 1;
(2)若平面ABC ⊥平面ABB 1A 1,且AB= BC,求直线CB 1与平面A 1BC 所成角的正弦值.
19. (本小题满分12分)
2019年上半年我国多个省市暴发了“非洲猪瘟"疫情,生猪大量病死,存栏量急剧下降,一时间猪肉价格暴涨,其他肉类价格也跟着大幅上扬，严重影响了居民的生活.为了解决这个问题,我国政府一方面鼓励有条件的企业和散户防控疫情,扩大生产;另一方面积极向多个国家开放猪肉进口,扩大肉源，确保市场供给稳定.某大型生猪生产企业分析当前市场形势,决定响应政府号召,扩大生产决策层调阅了该企业过去生产相关数据,就“一天中一头猪的平均成本与生猪存栏数量之间的关系”进行研究.现相关数据统计如下表:
(1)
研究员甲根据以上数据认为y 与x 具有线性回归关系,请帮他求出y 关于x 的线.性回归方程(1)
y b x a ∧∧∧
=+ (保留小数点后两位有效数字)
(2)研究员乙根据以上数据得出y 与x 的回归模型: (2) 4.80.8y
x
∧=+.为了评价两种模型的拟合效果,请完成以下任务: ①完成下表(计算结果精确到0. 01元)(备注: i e ∧
称为相应于点(,)i i x y 的残差);
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q 1及Q 2,并通过比较Q 1,Q 2的大小，判断哪个模型拟合效果更好.
(3)根据市场调查,生猪存栏数量达到1万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为7.5元;生猪存栏数量达到1.2万头时,饲养一头猪每一 天的平均收入为7.2元若按(2)中拟合效果较好的模型计算一天中一头猪的平均成本,问该生猪存栏数量选择1万头还是1.2万头能获得更多利润?请说明理由. (利润=收入一成本)
20. (本小题满分12分)
已知A(x 0,0),B(0,y 0)两点分别在x 轴和y 轴上运动,且AB |=1,若动点P(x ,y )满足23OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r .
(1)求出动点P 的轨迹C 的标准方程;
(2)设动直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点，与圆x 2+y 2=7相交于两点P 1、P 2(两 点均不在坐标轴上),求直线OP 1 、OP 2的斜率之积.
21. (本小题满分12分) 已知函数()ln (,1
a f x x a R a x =+∈-为常数). (1)讨论函数f (x )的单调性; (2)若函数f (x )在(e , +∞)内有极值,试比较1a e
-与1e a -的大小,并证明你的结论.
(二)选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,若多做,则按所做的第一题 记分.
22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为(4x t t y t
=-⎧⎨=+⎩为参数),曲线C 1的方程为x 2+(y -1)2=1.以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线l 和曲线C 1的极坐标方程;
(2)曲线C2: =0,0)2π
θαρα><<（分别交直线l 和曲线C 1于点A 、B,求OB OA
.的最大值及相应a 的值.
23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲. 已知函数()33f x x a x =-++
(1)若a =3,解不等式f (x )≤6;
(2)若不存在实数x ,使得()162f x a x ≤--+ ,求实数a 的取值范围.。