将各谐波初相km随角频率kω变动的情形用图形表示，就 得到相位频谱( Phase Spectrum)。
Akm
O 1 21 31 41 51 k1 由于各谐波的角频率是ω的整数倍，所以相邻两谱线的 间隔也是频率的整数倍，这种谱线间具有一定间隔的频 谱称为离散频谱，有时又称为线频谱。
5.2 非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率
T i2dt 0
。故测量结果是电流
的有效值I 。
(c) 全波整流仪表，偏转角 α∝ Iav 。故测量结果是全波 整流后电流的平均值。
因此，在测量非正弦周期电流和电压时，要注意选择 合适的仪表。
5.2.3 平均功率
u和i如为同频率的非正弦周期量，其傅里叶级数形式分别为
i
u U0 Ukm(coskt uk )
线性电路
非正弦电源
周期、非周期
常见的非正弦周期量：
i
脉
冲
波
T
t
形
，则稳态响应是非正弦量。
i
方
波
T
t
f(t)a0 (akco ks tbksikn t)
k 1
f(t)A0 Akmcos(ktk) k1
式中
A0 a0
A km
a
2 k
b
2 k
a k A km c o s k
b k A km s in k
2π
35
傅里叶级数是一个无穷三角级数，实际运算中，只能截取有 限的项数，具体运算时截取多少项，要根据精度的要求和电 路的频率特性来确定。
频谱
为了表示一个非正弦周期函数分解为傅里叶级数后包含哪些 频率分量以及各频率分量的相对大小，将各谐波振幅Akm随 角频率kω变动的情形用图形表示，称为 幅度频谱( Amplitude Spectrum)。
非正弦周期量的有效值等于它的恒定分量与各次谐波分 量有效值的平方和的平方根。
5.2.2 平均值
平均值的定义(以电流i为例)：
1 def
T
Iav T 0 i dt
此“平均”的含义与平均功率 中“平均”的含义有些不同!
正弦电流的平均值为:
Iav
1
T
T 0
Imcos(t)dt
4Im T
T
4cos(t)dt
T 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f (t) dt
1
0
T
T 2 0
Um
dt
Um 2
O
T
T
t
2
bk
2 T
T 2
f (t) sin k tdt
2
0
T
T
2 0
U
m
sin
k
tdt
T
2U m ( cos kt) 2
kT
0
Um (1 cos kπ) kπ
2U m kπ
0
k为奇数 k为偶数
f( t) U m 2 U m (st i1 n s3 itn 1 s5 itn )
k
a rc ta n
2 ( bk ak
)
恒定分量（或直流分量）
Akmcos(kt+k)称为f (t)的k次谐波 分量，A1mcos(t+1)称为1次谐
波(或基波)，周期为T；其余各项 统称为高次谐波。
高次谐波频率是基波的整数倍，习惯上将k为奇数的分量称为奇次谐波 ，将k为偶数的分量称为偶次谐波。
利用周期函数的对称性，可以简化系数a0、ak、bk的确定。
k q
谐波交叉乘积积分项为零是根据三角函数的正交性。
非正弦周期电流i的有效值为
II0 2 I1 2 I2 2 I3 2I0 2 k 1Ik 2I0 2 k 11 2Ik 2 m
式中 Ik Ikm 2为k次谐波的有效值
同理，非正弦周期电压的有效值为
U U 0 2 U 1 2 U 2 2 U 3 2U 0 2 k 1 U k 2U 0 2 k 11 2 U k 2 m
a2k=b2k=0
f (t)
T O
T
t
2
2
f(t)[a 2 k 1co 2 k s 1 )(t b 2 k 1si2 k n 1 ) (t]
k 1
函数的奇偶性不仅与波形有关，还与计时起点的选择有关， 计时起点的选择不同，函数的奇、偶性质也不同。因此适当 选择计时起点有时会使函数的分解简化。但是函数是否为奇
5.2.1 有效值
有效值的一般定义(以电流i为例)：
def
I
1 T i2 dt
T0
对于正弦电流 iImcos(ti ) Im 2I
对于非正弦周期电流，假设可以展开成下列傅里叶级数形式：
iI0 Ikmcos(ktk)
k1
电流的有效值为
（用定义求解）
I
1 T
0T[I0Ikmcos(ktk)]2dt k1
0
i
4Imsin(t)T4
T
0
4Im 2
0.637Im
相当于正弦电流经全波
O
t
整流后的平均值
补充：非正弦周期电流的测量
用不同类型的仪表测量同一个非正弦周期电流，会得 到不同的结果：
1T
(a) 磁电系仪表，偏转角α∝ T 0 i d t 。故测量结果是电流
的恒定分量I0。
1
(b) 电磁系仪表，偏转角α∝ T
I
1 T
0T[I0Ikmcos(ktk)]2dt k1
展开式平方后将得到下列两种类型的积分项：一种是谐波 自乘积积分项，一种是谐波交叉乘积积分项，分别为
1
T
T 0
I02dt
I02
1
T
T 0
Ik2m
cos2(kt
k
)dt
Ik2
1
T
T
0 2I0 cos(kt k )dt 0
1
T
T
0 2Ikm cos(kt k )cos(qt q)dt 0
[工学]东南大学_电路 基础_实验班讲义-第18
讲
第5章 非正弦周期电流电路 5.1 非正弦周期量的傅里叶级数展开 5.2 非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率 5.3 非正弦周期电流电路的分析 5.4 对称三相电路中的高次谐波
5.1 非正弦周期量的傅里叶级数展开 5.1.1 非正弦周期信号
线性电路 且一个或多个同频正弦电源，则稳态响应是同频的正弦量。
偶函数 ：f(t)=f(-t)，波形对称于纵轴，则bk=0
f (t)
f(t)a0 akcokst
k1
T O
T
2
2
t
因为cos(kωt)是偶函数！
奇函数 ：f(t) = -f(-t)，波形对称于原点，则ak=0
f (t)
T
O
T
2
2
f(t)a0 bksinkt
t
k1
a0 = 0!
奇谐波函数：f(t) = - f(t+T/2)，波形具有半波镜对称性，则
谐波函数与计时起点的选择无关，只决定于函数的波形。
例 求图中周期性方波信号f ( t )的傅里叶级数展开式。
解 求f ( t )在一个周期内的表达式
f (t) Um
U m f (t) 0
0<t T 2
T <tT 2
f ( t )为奇函数和 直流量的叠加！
ak = 0 k ≠ 0
a0
1 T