第六章自相关二、问答题1、那些原因可以造成自相关；2、存在自相关时，参数的OLS估计具有哪些性质；3、如何检验是否存在自相关；4、当存在自相关时，如何利用广义差分法进行参数估计；5、当存在自相关时，如何利用广义最小平方估计法进行参数估计；6、异方差与自相关有什么异同；三、计算题1、证明：当样本个数较大时，)d。

≈-1(2ρα2、通过D-W检验，判断下列模型中是否存在自相关，显著性水平%5=（1）样本大小：20；解释变量个数（包括常数项）：2；d=0.73；（2）样本大小：35；解释变量个数（包括常数项）：3；d=3.56；（3）样本大小：50；解释变量个数（包括常数项）：3；d=1.87；（4）样本大小：80；解释变量个数（包括常数项）：6；d=1.62；（5）样本大小：100；解释变量个数（包括常数项）：5；d=2.41；3、假定存在下表所示的时间序列数据：请回答下列问题：（1）利用表中数据估计模型：t t t x y εββ++=10；（2）利用D-W 检验是否存在自相关？如果存在请用d 值计算估计自相关系数ρ；（3）利用广义差分法重新估计模型：'''1011(1)()t t tt t y y x x ρβρβρε---=-+-+。

第三部分 参考答案二、问答题1、那些原因可以造成自相关？答：造成自相关的原因大致包括以下六个方面：（1）经济变量的变化具有一定的倾向性。

在实际的经济现象中，许多经济变量的现值依赖于他的前期值。

也就是说，许多经济时间序列都有一个明显的相依性特点，这种现象称作经济变量所具有的惯性。

（2）缺乏应有变量的设定偏差。

（3）不正确的函数形式的设定错误。

（4）蛛网现象和滞后效应。

（5）随机误差项的特征。

（6）数据拟合方法造成的影响。

2、存在自相关时，参数的OLS 估计具有哪些性质？答：当存在自相关，即I D ≠ΩΩ=,)(2σε时，OLS 估计的性质有：（1）βˆ是观察值Y 和X 的线性函数；（2）βˆ是β的无偏估计；（3）βˆ的协方差矩阵为112)()()ˆ(--'Ω''=X X X X X X D σβ；（4）βˆ不是β的最小方差线性无偏估计；（5）如果nX X n Ω'∞→lim存在，那么βˆ是β的一致估计；（6）2σ 不是2σ的无偏估计；（7）2σ不是2σ的一致估计。

3、如何检验是否存在自相关？答：检验自相关的方法主要有以下四种。

（1）D-W 检验（德宾-沃森检验）这种检验适用于小样本情况下的自相关检验，所用到的d 统计量的公式为：∑∑==--=nt tnt t t ee ed 12221)(对于不同的样本个数以及解释变量的个数，都有不同的d 统计量的临界值u l d d ,。

当l d d <时，就可以认为误差项之间存在一阶正自相关；当l d d ->4时，就可以认为误差项之间存在一阶负自相关；当u u d d d -<<4，就可以认为误差项之间不存在一阶自相关；其他情况无法判断。

（2）h 检验D-W 检验的一个前提条件就是解释变量是非随机的。

当滞后的被解释变量作为解释变量时，就不能利用D-W 检验，而要用h 检验。

H 统计量的计算公式为：)(1ˆ1βρnD n h -=，其中∑∑==-=nt tnt t t eee 1221ρ当n 很大时，h 近似服从标准正态分布。

此统计量的原假设是误差项之间不存在自相关，当h 大于正态分布的临界值时，则拒绝原假设，并且可以认为误差项之间存在自相关。

（3）V on-Neumann 比检验V on-Neumann 比统计量的计算公式为：∑∑==----=nt t tnt t tne en e es1222122/)()1/()(δ当n 很大时，V on-Neumann 比服从正态分布。

3222)1)(1()2(412-+---=n n n n n ns Z δ~N(0,1) Z 统计量的原假设是误差项之间存在自相关，当Z 统计量小于正态分布的临界值时，认为存在自相关；当Z 统计量大于正态分布的临界值时，认为不存在自相关。

（4）残差自回归检验这是一种通过估计残差自回归模型检验自相关的方法。

其步骤是：第一，利用线性模型的最小平方估计结果，计算残差t e ； 第二，建立各种可能的残差自回归模型 t b t t v e e +=-1ρ其中，b 的取值可以任意，然后对这些模型进行估计；第三，对上述模型结果进行假设检验，找出在统计上显著成立的估计式； 第四，比较这些显著成立的估计式，确定最优的拟合形式，并以此作为t ε的自相关形式。

这样做虽然计算量较大，但是却可以得到自相关的具体形式以及自相关系数ρ的估计值。

4、当存在自相关时，如何利用广义差分法进行参数估计？答：对于模型t t t x y εββ++=10进行广义差分法参数估计的步骤为： （1）对于原模型进行最小平方估计，并且计算残差项t e ；（2）利用计算所得的t e 进行D-W 检验，如果存在自相关，那么继续下面的步骤；（3）利用∑∑==-=nt tnt t t eee 1221ˆρ作为ρ的估计量；（4）对原来的解释变量和被解释变量进行广义差分，公式如下：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--1*1*ˆt t t t t t x x x y y y ρρ； （5）重新对模型*''*01ˆ(1)t t t y x v βρβ=-++进行估计，得到要估计的参数。

5、当存在自相关时，如何利用广义最小平方估计法进行参数估计？ 答：在广义线性模型t X Y εβ+=，Ω=2)(σεD ，其中Ω为正定对称矩阵并且已知。

则存在可逆矩阵G 使得G G '=Ω-1，并且有I G D 2)(σε=。

则广义线性模型可变化为εβG GX GY +=，此模型就变为了经典的线性回归模型。

对其进行最小平方估计可以得到：Y X X X GY GX GX GX 1111)()()())()((ˆ----Ω'Ω'=''=β此时的βˆ即为β的最优线性无偏估计。

βˆ的方差矩阵为 112)()ˆ(--Ω'=X X D σβ。

广义最小平方估计中的2σ的估计值为e e k n 1211-Ω'--=σ 。

6、异方差与自相关有什么异同？答：异方差与自相关的相同之处在于，他们都破坏了经典线性模型中对于残差项的协方差矩阵I D 2)(σε=的假设。

当存在异方差或者自相关时，残差项的协方差矩阵都可以写成Ω=2)(σεD 的形式，进而可以用广义最小平方模型进行估计，Y X X X GY GX GX GX 1111)()()())()((ˆ----Ω'Ω'=''=β。

异方差与自相关的不同之处在于Ω的形式不同。

当存在异方差时，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Ω22221000000n σσσ；当存在自相关时，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Ω----1112121n n n n ρρρρρρ。

三、计算题1、证明：当样本个数较大时，)1(2ρ-≈d 。

证明：根据D-W 检验的计算公式，∑∑==--=nt tnt t t ee ed 12221)(当n 较大时，有∑∑∑==-=≈≈nt t nt t n t t e ee 1222122，所以)1(21221∑∑==--≈nt tnt t t eee d ，而相关系数的估计值的计算公式为：∑∑==-=nt tnt t t eee 1221ˆρ所以，)1(2ρ-≈d 得证。

2、通过D-W 检验，判断下列模型中是否存在自相关，显著性水平%5=α （1）样本大小：20；解释变量个数（包括常数项）：2；d=0.73查表得41.1=u d ，20.1=l d ，l d d <=73.0，所以误差项之间存在一阶正自相关。

（2）样本大小：35；解释变量个数（包括常数项）：3；d=3.56查表得58.1=u d ，34.1=l d ，l d d ->=456.3，所以误差项之间存在一阶负自相关。

（3）样本大小：50；解释变量个数（包括常数项）：3；d=1.87查表得63.1=u d ，46.1=l d ，u u d d d -<=<487.1，所以误差项之间不存自相关。

（4）样本大小：80；解释变量个数（包括常数项）：6；d=1.62查表得77.1=u d ，51.1=l d ，u l d d d <=<62.1，所以无法判断误差项之间存不存在一阶自相关。

（5）样本大小：100；解释变量个数（包括常数项）：5；d=2.41查表得76.1=u d ，59.1=l d ，l u d d d -<=<-438.24，所以无法判断误差项之间存不存在一阶自相关。

3、（1）利用数据进行最小平方估计由∑∑---=21)())((ˆx x y y x x ii iβ，x y 10ββ -=，可得 t t x y25.009.261ˆ+-= （-8.33）(16.62)（2）5901.0)(12221=-=∑∑==-nt tnt t t ee ed ，通过查表可以判断出误差项之间存在一阶正自相关。

计算得相关系数7025.0ˆ1221==∑∑==-nt tnt t t eee ρ（3）进行广义差分⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--1*1*7025.07025.0t t t t t t x x x y y y ，重新进行回归得**31.065.405ˆt t x y+-= (-5.25) (9.19)。