例1、假设A证券的预期报酬率为10％，标准差是12％。

B证券的预期报酬率是18％，标准差是20％。

假设等比例投资于两种证券，即各占50％。

（1）求该组合的预期报酬率（2）如果两种证券的相关系数等于1，求该组合的标准；如果两种证券之间的预期相关系数是0.2，则求组合的标准差。

（1）该组合的预期报酬率为：=10％×0.50+18％×0.50=14％rp例2.假定你投资10000元于一个股票组合，你的选择是期望收益率14%的股票X 和期望收益9%的股票Y，如果你的目标是创造一个期望收益12.2%的组合，你对股票X投资是多少？对股票Y的投资是多少？E(Rp) =0.122 =0.14wX +0.09(1–wX)得到wX = 0.64所以，X=0.64×10000 =6400Y = (1–0.64) ×10000 = 3600例3：根据如下信息，计算两只股票的期望收益率和标准差经济状况发生时的收益率经济状况经济状况发生的概率股票A 股票B衰退0.1 0.06 -0.2正常0.6 0.07 0.13繁荣0.3 0.11 0.33) =0.10(0.06) +0.60(0.07) +0.30(0.11) = 8.10%E(RAE(R) =0.10(–0.2)+0.60(0.13)+0.30(0.33)=15.70%B2222σ=0.10(0.06-0.0810) +0 .60(0.07-0.0810) + 0.30(0.11-0.0810) =0 .00037Aσ=0.0192A2222σ=0.10(-0.2 - 0.1570) + 0.60(0.13-0.1570) + 0.30(0.33 -0 .1570) = 0.02216Bσ=0.1489B例4．假设投资100万元，A和B各占50％。

如果A和B完全负相关，即一个变量的增加值永远等于另一个变量的减少值。

组合的风险被全部抵销，见表1所示。

如果A和B完全正相关，即一个变量的增加值永远等于另一个变量的增加值。

组合的风险不减少也不扩大，见表2所示。

表1 完全负相关的证券组合数据方案 A B 组合年度收益报酬率收益报酬率收益报酬率19×1 20 40％ -5 -10％ 15 15％ 19×2 -5 -10％ 20 40％ 15 15％ 19×3 17.5 35％ -2.5 -5％ 15 15％ 19×4 -2.5 -5％ 17.5 35％ 15 15％ 19×5 7.5 15％ 7.5 15％ 15 15％ 平均数 7.5 15％ 7.5 15％ 15 15％ 标准差 22.6％ 22.6％ 0表2 完全正相关的证券组合数据 方案 A B 组合 年度 收益 报酬率 收益 报酬率 收益 报酬率 19×1 20 40％ 20 40％ 40 40％ 19×2 -5 -10％ -5 -10％ -1O -10％ 19×3 17.5 35％ 17.5 35％ 35 35％ 19×4 -2.5 -5％ -2.5 -5％ -5 -5％ 19×5 7.5 15％ 7.5 15％ 15 15％ 平均数 7.5 15％ 7.5 15％ 15 15％ 标准差 22.6％ 22.6％ 22.6％实际上，各种股票之间不可能完全正相关，也不可能完全负相关，所以不同股票的投资组合可以降低风险，但又不能完全消除风险。

一般而言，股票的种类越多，风险越小。

例5、假设A 证券的预期报酬率为10％，标准差是12％。

B 证券的预期报酬率是18％，标准差是20％。

假设等比例投资于两种证券，即各占50％。

（1）求该组合的预期报酬率（2）如果两种证券的相关系数等于1，求该组合的标准； 如果两种证券之间的预期相关系数是0.2，则求组合的标准差。

（1）该组合的预期报酬率为： r p =10％×0.50+18％×0.50=14％（2）如果两种证券的相关系数等于1，没有任何抵销作用，在等比例投资的情况下该组合的标准差等于两种证券各自标准差的简单算术平均数，即16％。

如果两种证券之间的预期相关系数是0.2，组合的标准差会小于加权平均的标准差，其标准差是：σp =∑∑==n W 1i n1j ijjiW σ=)W (2222122121121111σσσσW W W W W W W +++=)W (222222211221212112111111σσσσσσσσr W W r W W r W W r W +++ =)2W (222222212112211111σσσσr W W r W W r W ++=)0.21.00.50.52.012.020.05.05.0212.00.15.05.0(22⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ =01.00024.00036.0++ =12.65％3-2在例3中，两种证券的投资比例是相等的。

如投资比例变化了，投资组合的预期报酬率和标准差也会发生变化。

对于这两种证券其他投资比例的组合，计算结果见表3。

表3 不同投资比例的组合组合对A 的 投资比例 对B 的 投资比例 组合的 期望收益率 组合的标准差1 1 0 10.00％ 12.00％2 0.8 0.23 0.6 0.4 13.20％ 11.78％ 4 0.4 0.6 14.80％ 13.79％5 0.2 0.8 16.40％ 16.65％6 O 1 18.00％ 20.00％图1描绘出随着对两种证券投资比例的改变，期望报酬率与风险之间的关系。

图表中黑点与表3中的六种投资组合一一对应。

连接这些黑点所形成的曲线称为机会集，它反映出风险与报酬率之间的权衡关系。

例6.一个投资者拥有10万元现金进行组合投资，共投资十种股票且各占十分之一即 1万元。

如果这十种股票的β值皆为1.18，则组合的β值为βp=1.18。

该组合的风险比市场风险大，即其价格波动的范围较大，收益率的变动也较大。

现在假设完全售出其中的一种股票且以一种β=0.8的股票取代之。

此时，股票组合的β值将由1.18下降至1.142；βp =0.9×1.18+0.1×0.8=1.142例1：ABC 公司拟于2001年2月1日发行面额为1 000元的债券，其票面利率为8％，每年2月1日计算并支付一次利息，并于5年后的1月31日到期。

同等风险投资的必要报酬率为10％，则债券的价值为：PV=80(1+10%)1 +80(1+10%)2 +80(1+10%)3 +80(1+10%)4 +80+1 000(1+10%)5=80 ×（P/A ，10％，5）+1 000×（P/S ，10％，5） =80×3.791+1 000×0.621 =303.28+621 =924.28（元）例2有一纯贴现债券，面值1 000元，20年期。

假设折现率为10％，其价值为：PV=1 000(1+10%)20= 148.60（元）例3.有一5年期国库券，面值1 000元，票面利率12％，单利计息，到期时一次还本付息。

假设折现率为10％（复利、按年计息），其价值为：PV = 1 000+1 000×12%×5(1+10%)5=1 6001.6105= 993.48（元）例4.有一债券面值为1 000元，票面利率为8%，每半年支付一次利息，5年到期。

假设折现率为10%。

按惯例，报价利率为按年计算的名义利率，每半年计息时按年利率的12计算，即按4%计息，每次支付40元。

折现率按同样方法处理，每半年期的折现率按5%确定。

该债券的价值为：PV = 802×（p/A，10％÷2，5×2）+1 000×（p/s，10％÷2，5×2）= 40×7.7217+1 000×0.6139 = 308.87+613.90 = 922.77（元）该债券的价值比每年付息一次时的价值（924.28元）降低了。

债券付息期越短价值越低的现象，仅出现在折价出售的状态。

如果债券溢价出售，则情况正好相反。

例5 有一面值为1 000元，5年期，票面利率为8％，每半年付息一次的债券。

假设折现率为6％，则债券价值为：PV = 40×（p/A，3％，10）+1 000×（p/s，3％，10）= 40×8.5302+1000×0.7441= 341.21+744.10= 1 085.31（元）该债券每年付息一次时的价值为1 084.29元，每半年付息一次使其价值增加到1 085.31元。

例6.有一优先股，承诺每年支付优先股息40元。

假设折现率为10％，则其价值为：PV =4010%= 400（元）例7：ABC公司拟于20×1年2月1日发行面额为1 000元的债券，其票面利率为8％，每年2月1日计算并支付一次利息，并于5年后的1月31日到期。

同等风险投资的必要报酬率为10％，则债券的价值为：PV=80(1+10%)1 +80(1+10%)2 +80(1+10%)3 +80(1+10%)4 +80+1 000(1+10%)5=80 ×（p/A ，10％，5）+1 000×（p/s ，10％，5） =80×3.791+1 000×0.621 =303.28+621 =924.28（元）（1）如果在例11中，折现率是8％，则债券价值为： PV=80×（P/A ，8％，5）+1 000×（P/S ，8％，5） =80×3.9927+1 000×0.6806 =1 000（元）（2）如果在例11中，折现率是6％，则债券价值为： PV=80×（P/A ，6％，5）+1 000×（P/S ，6％，5） =80×4.2124+1 000×0.7473 =1 084.29（元）例8.在例11中，如果到期时间缩短至2年，在折现率等于10％的情况下，债券价值为：PV=80 ×（p/A ，10％，2）+1 000 ×（p/s ，10％，2） =80×1.7355+1 000×0.8264 =965.24（元）例9.在例11中，如果折现率为6％，到期时间为2年时，债券价值为：PV=80×（p/A ，6％，2）+1 000×（p/s ，6％，2） =80×1.8334+1 000×0.8900 =1 036.67（元）在折现率为6％并维持不变的情况下，到期时间为5年时债券价值为 1 084.72元，3年后下降至1 036.67元，向面值1 000元靠近了。