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L
:
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
——空间直线的一般方程。
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二、对称式方程与参数方程 z
s
L
如果一个非零向量平行于直
M
线L，就称这个向量为直线L的一
M0
个方向向量．
o
y
s
设 M0( (m, n,
x0 , y0 , z0 ) L,
x
p) 为 L的一个方向向量，则
在直线方程 x 4 y z 2 中，m 、 2m n 6 p
n、 p 各怎样取值时，直线与坐标面 xoy 、 yoz 都平行.
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思考题解答
s (2m,n,6 p),
s
k
0,
s
i
0,
s
6 2m 0,
p0 0 n
0,
p
6,
m 0,
故当 m 0, n 0, p 6时结论成立．
*例 4 设直线L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角. 解 n (1,1,2), s (2,1,2),
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
| 1 2 (1) (1) 2 2 | 7 .
M( x, y, z) L M0M// s
x x0 y y0 z z0 ——直线L的点向式方程
m
n
p 或对称式方程。
直线L的一组方向数。
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又
M0 M // n
M0M
tn，
即 ( x x0 , y y0 , z z0 ) t(m, n, p)，
得
x x0 mt
L:
3( x 2) 2( y 1) (z 3) 0
再求已知直线与该平面的交点N,
M
N
x 由 y
3t 2t
1 代入平面方程，得t 1，
3 7,交点 NhomakorabeaN(2 7
,13 , 7
3) 7
z t
取方向向量 MN ( 2 2, 13 1, 3 3) 77 7
6 (2,1,4), 所求直线方程为 x 2 y 1 z 3 .
(s , n)
或
(s , n)
2
2
sin | cos(s , n) |
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
——直线与平面的夹角公式。
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直线与平面的位置关系：(1) L A B C .
(2) L // Am Bn Cp 0. m n p
y
y0
nt
z z0 pt
——直线的参数方程。
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例1 用对称式方程及参数方程表示直线
x y z 1 0 2x y 3z 4
. 0
解又 x 令s//53z(，1,y10,1, )32得，(2得2,xx直1,y3线y)1上4(4的 0,0一1,,3点解(),
之，得 5 , 2 ,0). 33
6 9
36
arcsin 7 为所求夹角．
36
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五、小结
1、空间直线的一般方程. 2、空间直线的对称式方程、两点式方程与参数 方程. 3、两直线的夹角.
（注意两直线的位置关系）
4、直线与平面的夹角.
（注意直线与平面的位置关系）
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作业
• 习题7-6
4
7
16-(1)(4)
思考题
得
x 5 y 2
对称式方程
3
3
z
4
1 3
参数方程 x 5 4t , y 2 t , z 3t .
3
3
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例 2 一直线过点 A(2,3,4)，且和 y 轴垂直相交，求
其方程.
解 因为直线和 y轴垂直相交,
所以交点为 B(0,3, 0), 取 s BA (2, 0, 4),
所求直线方程 x 2 y 3 z 4 .
2
0
4
注：若
M1( x1, y1, z1)、M2( x2 , y2 , z2 ) L，M1
M
，则
2
L : x x1 y y1 z z1 ——两点式方程。 x2 x1 y2 y1 z2 z1
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例
3
求过M (2,1,3)且与
x1
L:
y 1
z
垂直相交的直
3 2 1
线方程.
L
解 先作过点M且与已知直线 L 垂直的平面
(2)
L1 //
L2
m1 m2
n1 n2
p1 , p2
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四、直线与平面的夹角
直线和它在平面上的投影直线的夹
角 称为直线与平面的夹角．
0 .
L : x x0 y2 y0 z z0 ,
s (m, n, p),
m
n
p
: Ax By Cz D 0, n ( A, B,C),
7
2 1 4
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另解 先做过点M (2,1,3)且与已知直线
L : x 1 y 1 z 垂直的平面 :
3
2 1
L
3( x 2) 2( y 1) (z 3) 0.
再求过M与L的： M0(1,1,0) L
' L M
s
n // M0M s (3,0,3) (3,2,1)
y y1 n1
z z1 , p1
L2 :
x x2 y y2 z z2 ,
m2
n2
p2
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
——两直线的夹角公式。
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
（6 1,2,1）
: (x 2) 2( y 1) (z 3) 0
所求直线： 3(x 2) 2( y 1) (z 3) 0 (x 2) 2( y 1) (z 3) 0
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三、两直线的夹角
两直线的方向向量的夹角（锐角）称为两直线的夹角.
L1
:
x x1 m1
第六节 空间直线极其方程
1. 一般方程 2. 对称式方程与参数方程 3. 两直线的夹角 4. 直线与平面的夹角 5. 小结、作业
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一、一般方程
若空间直线L为两平面
z 1
1 : A1 x B1 y C1z D1 0
2
与
L
o
y
2 : A2 x B2 y C2z D2 0 x
的交线， 则