为 k l 阶混合中心矩
E假(定X )其中各数学1 阶期原望点都矩存在
D“矩(X”) 是来自于2物阶理中学心中矩力矩的概念
Cov(X y,Y )
2 阶混合中心矩
y f (x)
O
x d第x 四章 随机x变量的数字特征
§4 矩、协方差矩阵
2/8
对于二维r.v ( X1,，X记2 )
c11 E[( X1 E( X1))2 ] D( X1) c12 E[(X1 E(X1))(X2 E(X2 ))] Cov(X1, X 2 )
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(X1, X2 ,L , Xn ) ~ N(,C) X1, X2,, Xn 的任一线性
组合 l1X1 l2 X2 ln Xn 服从一维正态分布 正态r.v的线性变换不变性：设
(X1, X2 ,, Xn ) ~ N(,C) 令
Y1 a11 X1 a12 X2 a1n Xn
Y2
§4 矩、协方差矩阵
1/8
对于 r.v X ,Y , 称
E( X k ) ( k 1, 2,)
为 k阶原点矩，简称 k阶矩 .称
E[( X E( X ))k ] ( k 2,3,)
为 k阶中心矩 .称
E( X kY l ) (k,l 1, 2,)
为 k l 阶混合矩 .称
E[( X E(X ))k (Y E(Y ))l ] (k,l 1, 2,)
)e2 xp2{
12(x(X1)1( y)2TC21)(X
(y
)}2
2 2
)2
]}
与一维记再正记C态Xr.vcc12密11xyf度c(c,1x222)函数比11211较2, e2则xp{122(x2
)
2
}
|
C
|
12
2 2
(1
2
2)
2 2
此时
C
C
21怎|样2C1|1C定| |C[C义x1211nCC维11222y正 态2 ]伴r.v随密矩221度阵2函数121
c21 E[(X2 E(X2 ))(X1 E(X1))] Cov(X 2 , X1)
c22 E[(X2 E(X2 ))2 ] D( X 2 )
写成矩阵的形式
C
Cov(
X
,
X
)
c11 c21
c12 c22
称矩阵 Cov(X , X ) 为 X (X1, X2 ) 的协方差矩阵.
CT C, 即 C为对称阵
§4 矩、协方差矩阵
8/8
26、27、29、30 END
第四章 随机变量的数字特征
协方差矩阵 C为正定(非负定)对称阵,即
CT C
C0
第四章 随机变量的数字特征
§4 矩、协方差矩阵
4/8
设
( X1,
X2
)
~
N (1 ,
2
,
12
,
2 2
,
),
其密度函数为指数部分
f (x, y)
1
exp{ 1
21 2 1 2
2(1 2 )
表达式
|
C|1(/ 22
)
[1(
2/2
1212(X22
1 (1
)T2C)
1(
2 2
X12)
1 2
2 1
第四章 随机变量的数字特征
§4 矩、协方差矩阵
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令
x1
1
c11 c12 c1n
X
x2
xn
,
2 n
,
C c21
cn1
c22
cn2
c2n
cnn
其中 C为 n阶正定矩阵
C 0, 即 C为正定(非负定)阵
1 c11 D( X1) 0
一阶顺序2 | C | c11c22 c21c12
二主阶子顺式序 D(X1)D(X 2 ) [Cov(X1, X 2 )]2
主子式
D( X1)D( X 2 )(1第四章X21X随2 机) 变0量的数字特征
§4 矩、协方差矩阵
a21 X1
a22 X2
a2n Xn
Ym am1 X1 am2 X2 amn Xn
则 (Y1,Y2,,Ym ) 仍服从多维正态分布 设 (X1, X2,, Xn ) ~ N(,C), 则
X1, X2,, Xn 相互独立 X1, X2,, Xn 两两不相关 第C四为章对随机角变阵量的数字特征
Xi ~ N(i,cii ),(i 1, 2,, n),反之,若 X1, X2,, Xn相互独立,
且
Xi
~
N
(i
,
2 i
),
(i
1,
2,
,
n),
则
(X1, X2 ,, Xn ) ~ N(,C)
其中 C为对角阵,且 [1 2 n ]T
C diag{12
2 2
n2}
第四章 随机变量的数字特征
§4 矩、协方差矩阵
若 n维 r.v (X1, X2,, Xn ) 的密度函数为
f
(x1,
x2
, ,
xn
)
(2
1 )n / 2|C|1/2
exp{
1 2
(X
)T
C1( X
)}
则称 (X1, X2,, Xn )服从参数为 (,C)的 n维正态分布,记为
(X1, X2 ,, Xn ) ~ N(,C)
第四章 随机变量的数字特征
§4 矩、协方差矩阵
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设 (X1, X2 ,, Xn ) ~ N(,C), 则
1 E( X1)
n2
E
(
X
2
)
E( X n )
,称为
( X1 ,
X2 ,,
Xn )的均值向量
C [cij ]nn 是 (X1, X2,, Xn ) 的协方差阵,且
cii D(Xi ) , i 1, 2,, n
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对于 n维 r.v ( X1, X2 ,, Xn ), 记
cij Cov( Xi , X j ) E[(Xi E(Xi ))(X j E(X j ))]
写成矩阵的形式
(i, j 1, 2,, n)
c11 c12 c1n
C
c21
c22
c2
n
cn1 cn2 cnn
称矩阵 C为 (X1 , X2 ,, Xn ) 的协方差矩阵