1 5 1 5 1 5 Xi 、 Y Yi 、 Z Zi 分别是总体期望 E(X)、E(Y)、E(Z)的无 5 i 1 5 i 1 5 i 1
2
偏 估 计 量 ， 样 本 方 差 S1
1 5 1 5 2 2 、 ( Xi X ) S (Yi Y )2 、 2 5 1 i 1 5 1 i 1
定义： 样本协方差矩阵
1 n ( X i X )2 n 1 i 1 1 n (Yi Y )( X i X ) n 1 i 1 1 n (Zi Z )( X i X ) n 1 i 1
1 n ( X i X )(Yi Y ) n 1 i 1 1 n (Yi Y )2 n 1 i 1 1 n (Zi Z )(Yi Y ) n 1 i 1
由三个总体 X、Y、Z 构成 3 维随机变量（X，Y，Z） 。该 3 维随机变量的协方差矩阵为
Cov( X , X ) Cov( X , Y ) Cov( X , Z ) Cov(Y , X ) Cov(Y , Y ) Cov(Y , Z ) Cov( Z , X ) Cov( Z , Y ) Cov(Z , Z )
1 n Xi X n 1 i 1

X
T
i
X

z1 4.0 z2 4.1 z3 3.9 z4 4.3 z5 4.1 2.0 0.60 2.1 0.59 2.0 0.58 ，分别计算上述统计量（样本平均值、 2.1 0.62 2.2 0.63
3
维 随 机 变 量 （ X ， Y ， Z ） 的 协 方 差 矩 阵
Cov( X , X ) Cov( X , Y ) Cov( X , Z ) Cov(Y , X ) Cov(Y , Y ) Cov(Y , Z ) 的无偏估计量是什么？ Cov( Z , X ) Cov( Z , Y ) Cov(Z , Z )
有 （X1，Y1，Z1） （X2，Y2，Z2） （X3，Y3，Z3） （X4，Y4，Z4） （X5，Y5，Z5） 其中 X1、X2、X3、X4、X5 为总体 X 的一个样本，Y1、Y2、Y3、Y4、Y5 为总体 Y 的一个样本，Z1、 Z2、Z3、Z4、Z5 为总体 Z 的一个样本。 样本平均值 X
期望等于总体协方差） 。 定义： 样本协方差
1 n ( X i X )(Yi Y ) n 1 i 1
另定义：
(X
样本相关系数
i 1
n
i
X )(Yi Y )
2
(X
i 1
n
i
X)
(Y Y )
i 1 i
n
（数学大辞典（第四卷） ）
2
问题 2： 由 三 个 总 体 构 成 的
x1 x2 对于一组样本值 x3 x4 x 5
y1 y2 y3 y4 y5
样本方差、样本协方差、样本协方差矩阵）的观察值。

S32
1 5 (Zi Z )2 分别是总体方差 D(X)、D(Y)、D(Z)的无偏估计量。 5 1 i 1
问题 1： 由两个总体 X、Y 构成的 2 维随机变量（X，Y）的协方差 Cov（X，Y）的无偏估计量是什么？ 答：
1 n ( X i X )(Yi Y ) ，其中 X 、Y 为样本均值。证明略（只要证明样本协方差的数学 n 1 i 1
1 n ( X i X )( Z i Z ) n 1 i 1 1 n ( X i X )( Z i Z ) n 1 i 1 1 n 2 (Zi Z ) n 1 i 1
记 X i X i , Yi , Zi 、 X ( X , Y , Z ) ，样本协方差矩阵可用如下公式计算：