基金使用方案的优化模型摘要本文在投资收益率的预测上，从投资项目的特点出发，通过回归函数来预测未来投资项目的收益，比较精确的得出各个项目收益率的预测值。
在投资方案上，运用了两种方法进求解：模型（I）充分考虑投资与收益间的关系,建立线性优化模型，通过lingo编程，得到最大奖金。
模型（II）充分利用项目收益率间的关系：重复投资同一种项目不如分为长短周期投资，以及项目不是很多的情况下，从而找出最优投资方案，通过先计算第i年收益对应的本金m，然后通过反过来计算出各年的各项目的投资额，这样大大的简化了投资i方案的计算，并且得到简单的投资方式，获得最大奖金。
通过比较，各有优缺点。
关键词：回归函数；复收益率；本金；投资期；奖金1 问题的提出学校基金会计划将一笔数额为M元的基金投入到学校教学或科研，投入科研与教学的分别会给学校带来的历年收益见表1。
到期收益额。
问题1:根据历年的收益,预测在未来n年内科研与教学的收益率。
问题2:根据问题1的收益率,基金投资到科研和教学,并每年用部分收益奖励优秀师生。
要求每年的奖金额大致相同，并且使奖金额最大，同时要求在第n年仍保留原基金数额。
在以下情况下，如何设计基金使用方案，并对100M万元，=n=给出具体结果：101．只投入到科研上不投入到教学中；2．可投入到科研上也可投入教学中；3．学校在基金到位后的第4年要举行建校100周年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多30%。
2模型假设1．科研基金和教学基金收益率采用在这n年内的年平均收益率。
2．市场稳定，投资项目不会出现投资风险。
年初投资，到期年末立即收回3．学校没有其他基金增加投入。
4．投资项目之间不会相互影响。
5．投资后再投资收益率不变，即在不同时间投资同一项目相互间不影响。
6．行家分析得出的数据符合未来情况，是净收益率。
7．每年在年终表彰优秀教师和奖励优秀学生。
3符号说明科研种类为1，2，3，5年和教学种类为1，3，5年对应项目1，2，3，4，5，6，7，8，9。
M ：基金总额；S ：每年年终奖励师生奖金额；ki p ：项目k 的在第i 年的投资收益率；k p ：项目k 的未来n 的年平均收益率 i r ：投资i 年才收益的到期复收益率；i R ：投资i 年才收益的到期最大复收益率； i m ：投资在第i 收益的本金； ki X ：第i 年投入k 项目的资金 kj Y ：第k 个项目第j 年收益金额；k T ：第k 个项目投资期年数；i Z ：第i 年发奖金后剩下的资金，即是可供第1+i 年投资资金；4收益预测模型4.1数据处理题目给出了到期的收益,由收益率公式:1-=k T kiki ki X Yp可得出科研和教学类近几年收益率的情况(见附录表1)。
4.2预测模型 4.2.1正弦回归由于项目已有的历年收益率数据很少,任何一种预测都有较大的误差,所以根据投资规律,项目收益高时,必然吸引更多的人投资,进而使得收益率变低,受益率降到了一定程度, 投资人数随之减少了,那么收益又会变高。
根据这一规律,项目收益率应该近似一个周期函数,不妨设为这个周期函数为)sin(c bx a y +=,我们可以通过最小二乘法,真实值与函数值的差的平方和最小,求解出最优的a,b,c 来,可是这样编程很难达到,算出也是近似解。
4.2.2二次回归为了使预测模型简化,在一段短时间内也可以把收益率近似服从二次函数:c bx ax y ++=2。
这样可以从已有的matlab 软件二次回归(程序见附录2)。
4.2.3 预测收益率⎥⎦⎤⎢⎣⎡=k k T H 10来取得项目的未来收益率个数.4.2.3年平均收益率由于收益率是随时变化的,我们也很难瞬时投资和收益,为了解决这一难题,我们引进年平均收益率,来处理收益率问题.这样就大大的简化了后面的要解决的投资方案问题.根据表3的收益率,运用平均公式:kH i kik H pp k∑==1得到各项目未来十年的年平均年收益率如表4,表5:5投资方案模型根据出发点的不同,得到两种投资方法: 5.1根据收益与投资间的关系:5.1.1项目收益Y 与投入项目基金X 关系式（1）：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧-=--≠-===+=1,11,0,,2,1,,2,1,)1(k k k kT k ki kj T i j T i j E Ck n j i E P X Y k ；其中： （1） 5.1.2项目收益Y 与可供投资资金Z 关系式（2）：n i S Y Z Ck i ki i ,,2,1,11 =-=∑=+（2）5.1.3投入项目基金与可供投资资金Z 关系式（3）：n i Z XCki ki,,2,1, =≤∑（3）5.1.4可供投资资金Z 约束式(4)：M Z Z n ==+11(4)5.1.5目标函数：)max(S5.1.6综合上面的式子，得到模型（Ⅰ）：ni MZ Z ZX S Y Z E P X Y t s S n Cki ki C k ki i k T k ki kj k ,,2,1)1(..)max(111 =⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≤-=+=∑∑-= （Ⅰ）5.2利用各项目间的年平均收益率关系： 5.2.1年平均收益率分析：科研种类共4种： 1年，2年，3年，5年。
所以学校基金投资只能在这4种选择，即可以看作是一段时间项目分配问题。
在假设中，为了去除一些不定因素，已经假设只能在年初投资，发奖金是在年终，取得是未来十年内年平均收益率，从表4数据可以算出一时间段不同分配方案所获得的复收益率。
见表6：从表6中的复收益率的表达式和数值，可以发现重复投资同一类科研项目的复收益率较低，并且投资项目的先后顺序对投资没有影响（以后投资时先投资期小的）.所以在投资中为了获得最大收益只要尽量避免重复投资同一类项目.例如表3中时间段4年的，应该将资金投资到种类为1年和3年的项目上，先投资1年的，在把到期收益全部投资到3年的，从而获得最高复收益率1.078525.应此前5年的投资最大复收益率见表7：5.2.2投资定理定理1：年头数是整数n ，以科研项目投资期年数5，3，2，1为因子，使得较大因子取满，才能取较小因子，则时间n 年可以唯一表达成如下式子（1）：变量－为，其中10,,5235d c b n a d c b a n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+++= （1）注：⎥⎦⎤⎢⎣⎡5n 表示5n 取整。
定理2：只要把科研按照a,b,c,d 重复数来投资对应的项目，在第n 年就能获得最大复收益率和最大的奖金.即dc b a n R R R R R 1235⨯⨯⨯=。
举例：8=n 时,n 只能表成35+=n ，而不能表示成232125+⨯=++=n 等。
即把资金投入到种类为5年和3年就能获得最大复收益率：31.18560264r 8=1。
5.2.3定理证明（1）根据代数的分解因式知识显然可以得到定理1。
（2）从表6的复收益率的表达式子可以得到下面不等式：51235*R R R R >>31123R R R R >⨯>212R R >所以我们可以用不等式左边的投资方案代替右边的投资方案，就能获得最大收益.故可以得到定理2。
当然教学项目年平均收益率之间也有这样的关系，也满足定理1，2。
5.2.4建立模型故根据定理1，2建立模型（Ⅱ）：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=⨯=⨯=∑=MS R m S R m M m S nn ii ni i 1)max( （Ⅱ） 如果第四年的奖金是其他年份的30％，则我们对模型（Ⅱ）做一点变动得到模型（Ⅱ）：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=⨯⨯=⨯=⨯=∑=MS R m SR m SR m M m S n n i i ni i 3.1)max(441 （Ⅲ）6问题2投资方案的解答6.1根据模型（Ⅰ）解题 6.1.1只投资科研只投资科研，则项目共有4个，分别为项目 1,2,3,4；即4,3,2,1=k把表1数据带入到模型（Ⅰ）中，通过lingo 软件计算（程序见附录3）获得最可以投资科研也可投资教学，通过对表1与表2年平均收益率看，教学的收益率比科研的高，所以如果投资同一种类（同一投资期）的项目，只投资教学的就行了.例如同时3年的项目5和8，只投资项目8就达到目的。
在计算时可以把同一种类的教学收益率代替科研收益率，采用问题1方法，带入数据，通过lingo 软件计算，只要每年都把100万元投资到教学种类为一年的项目7上，就能获得最大奖金为1.98万元。
6.1.3奖金有变动由于第4年的奖金要比其他年份的多30%（1） 只是投资科研，根据问题1方法可以算出最大奖金为1.7459万元。
（2） 科研与教学都投资，根据问题2方法可以最大奖金为1.9208万元。
6.2根据模型（Ⅱ）解题 6.2.1只投资科研根据定理2得到最优投资科研方案如表9：把数据10100==n M 万元，，最大复收益率R 带入到模型（Ⅱ），通过lingo 求解（程序见附录4），获得的最大奖金为2.241242万元.根据i m 的大小，以及投资方案进行倒推.例如在第2年投入投资期为3年的科研即项目5投资资金52X 有2个去向：第4年、第9年，则907.3)(19452=+=R m m X .故根据此方法得到每年各种科研的具体投资如表10：6.1.2投资科研和教学通过对表1与表2年平均收益率看，教学的收益率比科研的高，所以如果投资同一种类（同一投资期）的项目，只投资教学的就行了.在计算时可以把同一种类的教学收益率代替科研收益率.跟只投资科研的方法相同，但要注意到2次投资种类为一年的教学的复收益率1.03999大于投资种类为二年的科研的复收益率1.03632，所以把也可以重复投资一年期教学代替二年期的科研.于是得到最大复收益率如表11：把数据带入到模型（Ⅱ），通过lingo 软件求解，获得最大的奖金为：2.763380万元.对应每年具体投资的如表12：6.1.3奖金有变动只投资科研:把数据带入模型（Ⅲ），通过lingo 软件求解，获得最大的奖金为：2.1730万元。
投资科研和教学 把数据带入模型（Ⅲ），通过lingo 软件求解，获得最大的奖金为：2.6793万元。
7模型的评价7.1预测模型的评价通过回归函数,来预测未来项目的收益率,虽然存在误差,但是由于数据少,其他的预测模式也很难实现较为精确的值.本文仅提供一种预测思想,根据预测对象的性质和特点,可以通过回归据有此性质和特点的函数来预测他,此方法是可行的。
7.2投资方案模型的评价7.2.1模型（Ⅰ） 充分利用投资与收益的关系k T k ki kj E P X Y k)1(+=，解决实际基金投资问题，思想容易理解，通过lingo 编程容易得到最大奖金.但是我们看到这种投资方式比模型（Ⅱ）投资方式奖金少一些。