28、一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图
x
x A O a
x
所示．当振子处在位移为零、速度为-ωA、
e d b c f t
加速度为零和弹性力为零的状态时，应对应
于曲线上的________ 点．当振子处在位移的 b,f 绝对值为A、速度为零、加速度为-ω2A和弹
-A
性力为-kA的状态时，应对应于曲线上的 ____________ a,e 点．
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已知： A = 24cm, T = 3s, t = 0时 x0 12cm, v0 0,
解：作t = 0时刻的旋转矢量 A0
求：质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间。
作x = -12cm处的旋转矢量 A A
-12
A0
o 12 24 x(cm)
t min
——理想模型
•忽略物体运动时的一切阻力； •忽略弹簧的质量；
•忽略物体的弹性.
O
x
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受力情况：
N
F
O
m o
F
x
x
mg
x
F
O
x
物体在任意位置x 所受的力为
F kx
―–‖表示力与位移的方向相反.
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受力分析：
由牛顿第二定律知
d2x F ma m 2 kx dt d2x k 所以 x0 2 m dt
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6、已知一质点沿ｙ轴作简谐振动．其振动方程 为 y A cos(t 3 / 4) ．与之对应的振动曲线是
y A o (A) A y A t (B) o A t (C) y A o A (D) t y
t
o
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求解振动三要素中的初相位： （一）解析法 （二）图像法 （三）旋转矢量法
(简谐振动的三要素)
x A cos(t 0 )
1.振幅: 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。 2 周期和频率 周期：物体作一次完全振动所经历的时间。
x A cos(t 0 ) A cos[ (T t ) 0 ]
T 2π

频率：单位时间内物体所作完全振动的次数。
A, 为积分常数
x可代表任意物理量
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用旋转矢量图画简谐运动的 x
t图
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简谐振动的运动学方程为
x A cos t 0
此式表示出了作简谐振动物体的位移随 时间变化的关系. x-t 曲线称之为振动曲线.
x A o A
0
2
t

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令
2
k 2 m
d x 2 则 x0 2 dt
——动力学方程
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d x 2 2 x 0 dt
2
——动力学方程
解此二阶常系数线性微分方程可得
x Ae x A cos t 0 ——或 运动方程
振 幅 角 频 率
i(t 0 )
初 相 位
求解振动三要素中的初相位： （一）解析法 （二）图像法
由振动曲线决定初相
(给定振动曲线，写出振动方程)
x0 A cos0 0 v0 A sin 0 0
sin 0 0
A x0 0 t 0
v0
x
t

x0 0 arccos A
为四象限角
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m o
采用旋转矢量直观表示为
两个同频率的简谐运动：
A2
ω
A1
D 2 f
O
1
x
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例题 10-1 一物体沿 x 轴作简谐振动，振幅 A=0.12 m, 周期T=2 s。当t=0时,物体的位移x=0.06 m,且向x轴正 向运动。求 :(1) 简谐振动表达式 ;(2)t =T/4 时物体的 位置、速度和加速度;(3)物体从x =-0.06 m向x轴负方 向运动，第一次回到平衡位置所需时间。 解: (1)取平衡位置为坐标原点,谐振动方程写为
x A cos(2π t 0 )
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3.相位和初相
相位 (t 0 ) ：决定简谐运动状态的物理量。 初相位 0 ：t =0 时的相位。 怎样用初始条件求振幅和初相位？ 假设作简谐振动的物体在初始时刻的速 度和位移分别为 v0 和 x0
x A cos t
1 T 0.5 s 6
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补充知识：
利用旋转矢量法作 x-t 图:
x
t=0
t T 12 T t 6
x(cm)
A
O
T t 2
O
T
t(s)
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速度、加速度的旋转矢量表示法： 沿X 轴的投 影为简谐运动的速度、 加速度表达式。
, a
t 0
m o x x A cos t
对运动学方程求导得振动速度为
dx v A sin t dt
x
对振动速度求导得振动的加速度为
d2x 2 2 x a 2 A cos t dt
从以上两式可知，作简谐振动物体的速 度和加速度是时间的周期函数，而且加速度 和位移成正比但方向相反.
k m
弹簧振子
初相位 ：决定于初始时刻的状态。
x0 A cos t 0时刻 v0 A sin
A x
2 0
2
2 v0
tg
v0 x0
解 析 法
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例题分析
1.一个质量为m 的物体系于一倔强系数为 k 的轻弹簧 下，挂在固定的支架上，由于物体的重量使弹簧伸长 了l =9.810-2m. 如图所示，如果给物体一个向下的瞬 时冲击力，使它具有向下的速度v =1ms-1，它就上下 振动起来，试写出振动方程.
a am cos(t 0 ) am cos(t 0 π)
速度的相位比位移的相位超前 π 2 ，加速度的相 位比位移的相位超前 π 。
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简谐振动的表达式
x A cos t
振动三要素：
振幅A：给出了简谐振动的振动范围
角频率 ：决定于振动系统的固有属性；
相位究竟是什么东西？ 相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动 步调上的差异。 设有两个同频率的谐振动，表达式分别为
x1 A1 cos(t 10 )
x2 A2 cos(t 20 )
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二者的相位差为
(t 20 ) (t 10 ) 20 10
x
o
0 时,称第二个振动超前第一个振动 ；
t
d.当 0 时,称第二个振动落后第一个振动 。
xБайду номын сангаас
o
t
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相位可以用来比较不同物理量变化的步调。 对于简谐振动的位移、速度和加速度，存在:
x A cos(t 0 )
v vm sin(t 0 ) vm cos(t 0 π 2)
a
ax

vx

M
A
M 点:vm
A 2 am A

2
a
X
vm cos( t )
a am cos(t )
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x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 ) 相位之差为 (t 2 ) (t 1 ) 2 1.
A cos 10 A cos 20
x
A/2 o
t
20 10 t 20 10 t
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讨论： a.当 2kπ 时,称两个振动为同相；
x
o
t
b.当 (2k 1) π 时,称两个振动为反相；
x
o
t
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c.当
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30、一简谐振动用余弦函数表示，其振动 曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量 (/6) rad/s ； φ 为 A =________ 10 cm ； ω =__________ =___________ ． /3
x (cm) 10 5 O 1 4710 -10 13 t (s)
dx v A sin t dt x0 A cos 解之可得 则t 0 有 v0 A sin
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A
在
x
2 0
2
2 v0
v0 tg x0
v0 A sin 0 进行取舍。
π 到 π 之间，通常 0 存在两个值，可根据
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简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系 :
初始相位为零时
x A cos t
x
2

4

t
dx v dt A sin t
d2x a 2 dt A 2 cos t

t
a
t
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二、描述谐振动的特征量
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什么是振动？
•振动: 任何物理量在某一定值附近随时间周期性变化
力学量（如位移、速度） 电磁量（如I 、V、 E、 B）
模型 （弹簧振子）
推广
如何研究振动？
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§10-0 教学基本要求
1．掌握描述谐振动和简谐波动的各物理量（特别是 位相和位相差）的物理意义及各量的相互关系。 2．掌握旋转矢量法，并能用以分析有关问题。 3．掌握谐振动的基本特征。能根据给定的初始条件 建立一维谐振动的运动方程，并理解其物理意义。理 解谐振动的能量及其特点。