1． 对于积分方程
()()()
1
t s x t e x t ds y t λ--=⎰为一给定的函数，λ为
常数，1λ<，求证存在唯一解()[]0,1x t ∈。

2．
设s 为一切实（或复）数列组成的集合，在s 中定义距离为
()11,21+k k
k
k k k
x y ξηρξη=-=-∑，其中，
()()
11,,,=,,n n x y ξξηη=⋅⋅⋅⋅⋅⋅。

求证s 为
一完备的距离空间。

3．
在完备的度量空间(),x ρ中给定点列{}n x ，如果任意的0ε>，
存在基本列{}n y ，使(),0n n x y ρ<。

求证{}n x 收敛。

4． 证明内积空间()(),,x 是严格凸的*
B 空间
5．
为了()F C M ⊂使一个列紧集，必须且仅需F 是一致有界的
且等度连续的函数族。

6． 设
()
,A x y ϕ∈，求证（1）.
1
sup x A AX
≤=，（2
）
1
sup x A AX
<=。

7．
设X 是一个Hilbert 空间，(),a x y 是X 上的共轭双线性函数，
并存在0M
>，使得(
),a x y M x y
≤，则存在唯一的()A x ϕ∈，
使得
()()
,,a x y x Ay =且
()(),0,0
,sup
x y X X
x y a x y A x y
∈⨯≠≠=。

8． 求证()2f L ∀∈Ω，方程()
0u f u ∂Ω⎧-∆=Ω⎪⎨
=⎪⎩在内若解存在唯一。

9．
设X 是复线性空间，P 是X 上的半模，()00,0x X x ρ∀∈≠。

求
证存在X 上的线性泛函f 满足()()01.1f x =，()()()
()02.x f x x ρρ≤。

10． 叙述开映象定理并给出证明。

11． 叙述共鸣定理并给出证明。