例14 观察一个新灯泡的寿命 其样本点也有无穷多个 (且不可数!) t小时 0t 样本空间为 {t小时|0t} 或简记为 {t|0t}[0 )
四、随机事件
随机事件 在随机试验中 人们除了关心试验的结果本身外 往往还 关心试验的结果是否具备某一指定的可观察的特征 概率论 中将这一可观察的特征称为一个事件 如果一个事件在随机试验中可能发生也可能不发生 则 这样的事件称为随机事件
六 事件的关系与运算
事件 事件之间的关系与事件的运算
集合
集合之间的关系与集合的运算
子事件 (事件的包含Contain ）
事件Ａ是事件Ｂ的子事件
事件Ａ发生必然导致事件Ｂ发生 事件Ａ的样本点都是事件Ｂ的样本点

A 例如 B
记作
A B
BA
抛掷两颗骰子，观察出现的点数
A={出现1点}
B={出现奇数点}
（ 1）A1, A2 ,, An 互不相容
（2）A1 A2 An
举例
：A与A构成一个完备事件组
概率论
集合论
样本空间（必然事件） Ω
不可能事件 Φ
全集
空集Φ
子事件 A⊂B
和事件 A∪B
子集A⊂B
并集A∪B
积事件 A∩B
差事件 A-B
交集A∩B
差集A-B
对立事件
A
补集
A
七、随机事件的运算律
A B
相等事件（Equal）
B A且 A B


A=B
B A 事件A与事件B含有相同的样本点
例如：在投掷一颗骰子的试验中，事件“出现偶数点”
与事件“出现2，4或6点”是相等事件。
和事件 Union
和事件A∪B发生 A发生或B发生
事件A与事件B至少有一个发生 由事件A与事件B所有样本点组成
举例 投掷一枚骰子 “点数为偶数”就是一个事件 同样 “点数小于7”也是一个事件
随机事件
如果一个事件在随机试验中可能发生也可能不发生 则 这样的事件称为随机事件 必然事件与不可能事件 如果一个事件在随机试验中必然发生 则这样的事件称 为必然事件 如果一个事件在随机试验中一定不发生 则这样的事件 称为不可能事件 举例 投掷一枚骰子 “点数小于7”是必然事件 “点数不小于 7”是不可能事件
说明 虽然必然事件与不可能事件是完全对立的 但它们有一 个共同的特点 那就是在试验之前我们能够准确预知其是否 发生 因而均不是随机事件 通常称之为确定性事件 概率论研究的是随机事件 但为方便起见常常将必然事 件和不可能事件视为随机事件的极端情形 并将随机事件简 称为事件 通常记作A B 基本事件：由一个可能结果，即单个样本点构成的事件 （复合）事件：含有多个样本点的随机事件．
4 关于求对立事件的运算
( A) A (自反律)
5 关于和及交事件的对立事件
(1) A B A B (第一对偶律) (2) A B A B (第二对偶律)
例1.9：复合事件的表示
某射手向目标射击三次，用 Ai 表示第
i 1, 2,3,
i 次击中目标
投掷一枚硬币 我们不能事先预知将出现正面还是反面 确定性现象与随机现象 在自然界和人类社会生活中普遍存在着两类现象 一类 是在一定条件下必然出现的现象 称为确定性现象 另一类则 是我们事先无法准确预知其结果的现象 称为随机现象
二、随机现象的统计规律性
由于随机现象的结果事先不能预知 初看起来 随机现象 毫无规律可言 然而人们发现同一随机现象在大量重复出现 时 其每种可能的结果出现的频率却具有稳定性 从而表明随 机现象也有其固有的量的规律性 人们把随机现象在大量重复出现时所表现出来的量的规 律性称为随机现象的统计规律性
例12 在投掷一枚骰子 观察其出现的点数的试验中 有6 个样本点 1点 2点 6点 样本空间为 {1点 2点 6点} 或干脆将样本点分别简记为1 2 6 相应地 样本空间记为 {1 2 6} 例13 观察某电话交换台在一天内收到的呼叫次数 其样 本点有可数无穷多个 i次 i0 1 2 样本空间为 {0次 1次 2次 } 或简记为{0 1 2 }
五、事件的集合表示
事件的集合表示
样本空间Ω的任一子集A称为随机事件。
A
属于事件A的样本点出现，则称事件A发生。
由于样本空间包含所有可能结果 试验结果必是其中之一 所以样本空间作为一个事件是必然发生的 即为必然事件 今 后用表示必然事件 空集作为的子集不含有任何样本点 不管试验的结果 是什么 作为一个事件总不会发生 因而是不可能事件 今 后用来表示不可能事件
例15 在投掷一枚骰子的试验中 分别记 “点数是6”为A “点数小于5”为B “点数小于5的偶数”为C 则A B C均为事件 其中事件A为基本事件 事件B和C均是复 合事件
注：事件可以看成由基本事件复合而成的。而基本事件是最 小的 ，不能分割的事件！基本事件是事件的子集！
A
多个事件的积
A1A 2 A n A i
i 1
无穷可列个事件的积
A1A 2 A n A i
i 1

差事件 Difference
差事件A-B发生 事件A发生且事件B不发生
由属于事件A但不属于事件B的样本点组成

B
A
Ａ－Ｂ 性质
A B A B,
A B A AB

B
A
A B A B
A1 A2 An = Ai A1 A2 An =
i 1 n
多个事件的和
无穷可列个事件的和
A
i 1

i
积事件Intersection
积事件AB发生 事件Ａ和事件Ｂ同时发生
由事件Ａ和事件Ｂ的公共样本点组成

B
ＡＢ Ａ∩Ｂ
n
试用 Ai 及其运算符表示下列事件：
（1） 三次都击中目标：
A1 A2 A3
（2） 至少有一次击中目标： A1 A2 A3 （3） 恰好有两次击中目标： A 1A 2A 3A 1A 2A 3A 1A 2A 3
（4） 至多击中一次：
A1 A2 A1 A3 A2 A3
（5）至少有一次没有击中目标： A1 A2 A3 A1 A2 A3 （6）三次都没有击中目标：
互斥事件 (互不相容事件) Exclusive
事件A与事件B互斥 AB=Φ
事件A与事件B不能同时发生 事件A与事件B没有公共的样本点

A
B
对立事件 Contrary
事件A不发生
是由所有不属于A的样本点组成

记作
A
性质
A
A
AA
A A
完备事件组
完备事件组 A 1 , A2 ,, An
§11 随 机 事 件
一、随机现象 二、随机现象的统计规律性 三、样本空间 四、随机事件 五、事件的集合表示 六、事件间的关系与运算 七、下述试验的性质有什么不同？
一物体从高度为 h(米)处垂直下落 则必然在 2h 秒后落到 g 地面 其中 g98(米/秒 2)为重力加速度
1 关于求和运算 (1) A∪BB∪A (交换律) (2) (A∪B)∪CA∪(B∪C)A∪B∪C (结合律) 2 关于求交运算 (1) A∩BB∩A (交换律) (2) (A∩B)∩CA∩(B∩C)A∩B∩C (结合律) 3 关于求和与求交运算的混合 (1) A∩(B∪C)(A∩B)∪(A∩C) (第一分配律) (2) A∪(B∩C)(A∪B)∩(A∪C) (第二分配律)
三、样本空间
样本空间 我们把随机试验的每一个可能结果称为一个样本点 而 把所有样本点的全体称为样本空间 样本空间通常用表示 中的点 即样本点 用表示
样本空间举例 例11 在投掷一枚硬币观察其出现正面还是反面的试验 中 有两个样本点 正面、反面 样本空间为 {正面 反面} 记1“正面” 2“反面” 则样本空间可表示为 {1 2}
A1 A2 A3 A1 A2 A3
二、随机现象的统计规律性
随机试验 为了对随机现象的统计规律性进行研究 人们往往要对 随机现象进行观察 我们把对随机现象的观察称为随机试验 简称为试验 一般地 一个随机试验要求满足下列特点 (1)可重复性 在相同条件下试验可重复进行 (2)可观察性 每次试验的结果具有多种可能性 而且试验 前所有可能的结果是明确的 (3)随机性 每次试验之前不能准确的预言该次试验将出 现哪一种结果