《高等数学(下册)》第八章练习题一、填空题1.________________ )sin(==dz xy z 则，设 2.设),cos(2y x z =，则=∂∂)2,1(πxz3.函数22)(6y x y x z ---=的极值点为4.设xy e z =，则=dz5.设y zln z x =，则=∂zxz 二、选择题)2 0( D. )0 2( C. )0 0( B. )2 2( A.) (33) ( 12233，，，，的极小值点为，函数、y x y x y x f --+=2、),(y x f 在点),(00y x 处偏导数),(),(0000y x f y x f y x''、存在是),(y x f 在该点连续的( ).(a)充分条件， (b)必要条件， (c)充要条件， (d)既非充分条件又非必要条件。

3、设)2ln(),(xy x y x f +=，则＝（）)1,1(-'x f . （A ），31 （B ），31- （C ），65 （D ）.65-三、计算题方程。

处的切线方程与法平面，，在点求曲线、)1 2 1(2 132⎩⎨⎧==x z x y 2、设),(y x z z =是由方程0),(=--z y z x F 确定的隐函数，F 具有一阶连续偏导数，且,0≠'+'v u F F 其中,,z y v z x u -=-=求.,yz x z ∂∂∂∂ 3、求曲面3222-=+-z xz y x 在点)1,2,1(处的切平面及法线方程。

4、设,222z y xe u ++=而y x z sin 2=,求xu ∂∂. 5、求曲线t z e y e x t t ===-,,,对应于0=t 点处的切线和法平面方程。

6、求函数)4(2y x y x z --=在闭域4,0,0≤+≥≥y x y x 上的最大值及最小值。

7、设2cos 2=z (y x 21-),求xz∂∂和y z ∂∂. 8、yf x f e y x f xy ∂∂∂∂=) ,( 3，，求设 9、的极大值或极小值求函数 3) ,( 22x y xy x y x f ++-=10、dz y x z xy v y x u v u x f z 的全微分对求复合函数设, ,,2),,,(=+== 11、yz x z xy x y z ∂∂∂∂=和求设 ),cos( 12、处的切平面和法线方程上点求曲面)1,2,1(823222--=+z xz y yz xyz f y z xy f y xz y x z z ∂∂++==求有连续的一阶偏导，所确定，其中由方程函数、 ),(sin ),( 13四、综合应用题1.在平面xoy 上求一点），（y x M ，使它到三条直线，，00==y x 01=++y x 的距离平方和为最小，并求其最小值。

2.在曲面2242y x z ++=上求一点，使它到平面132=+-z y x 的距离最近。

五、证明题a yzc x z by x f z cz ay bz ax v u =∂∂+∂∂==--满足：，所确定的函数，证明由方程具有连续偏导，，设) (0) ( ) (.1φφ2.证明曲面)0(>=++a a z y x 上任一点处的切平面在三个坐标轴上的截距之和为常数。

《高等数学(下册)》第八章练习题答案一、填空题1.________________ )sin( ==dz xy z 则，设 2. )cos()21(2ππ-=∂∂=，则，设xz y x z3. 3) 3( )(622----=，的极值点为函数y x y x z4. )( xdy ydx e dz e z xy xy +==则，设5. ln zx zx z y z z x +=∂∂=则，设二、选择题)2 0( D. )0 2( C. )0 0( B. )2 2( A.) A ( 33) ( 12233，，，，的极小值点为，函数、y x y x y x f --+=. )( )( )( )( )() () ( ) () () ( 2000000条件既非充分条件又非必要充要条件，必要条件，充分条件，在该点连续的，是存在，、，处偏导数，在点，、d c b a d y x f y x f y x f y x y x f y x ''.65)( 65 )( 31)( 31 )( )B ()1 1( )2ln() ( 3--=-'+=D C B A f xyx y x f x ，，，，则，，设、三、计算题方程处的切线方程与法平面，，在点求曲线、)1 2 1( 2 132⎩⎨⎧==x z x y {}1234 0)1(3)2(41 3142113 4 1T 3 4 2=-++=-+-+--=-=-⇒=∴='='z y x z y x z y x x z x y 即法平面方程为切线方程为，，切向量，解： . 0 0) () (2yzx z z y v z x u F F F z y z x F y x z z v u ∂∂∂∂-=-=≠'+'=--=，求，，其中，且具有一阶连续偏导数，确定的隐函数，，是由方程，、设 ))(cos(xdy ydx xy +) () ( z y z x F z y x f --=，，，令解： ，，，则v u z v y u x F F f F f F f '-'-=''=''='v uu z x F F F f f x z'+''=''-=∂∂⇒v uv z y F F F f f y z'+''=''-=∂∂⇒0)()1( 0) (=∂∂-'+∂∂-'=--xzF x z F x z y z x F v u 求偏导得：两边对，或将 v u u F F F x z '+''=∂∂⇒ v uv F F F y z'+''=∂∂同理可求.)1 2 1(3 3222处的切平面及法线方程，，在点求曲面、-=+-z xz y x1142310643 0)1()2(4)1(3}1 4 3{ 2 2 2 3) ( 222--=--=-=+--=-------=-=-=+=+-+-=z y x z y x z y x n z x F y F z x F z xz y x z y x F z y x 法线方程即切平面方程，，故，，则，，解：令)sin 21(2)sin 21(2u422sin 2422222y x xe y z xe xy x y x z y x +=+=∂∂++++、.0 111115=+--=--=-z y x z y x 法平面方程：，、切线方程).0])4,0[(4]),4,0[(0]),4,0[(0(0 4)1,2(6min max 上都是最小值、在整个边界：最小值为、、最大值为∈=+∈=∈===y x y x x y y x z z).2sin( )2sin(27y x yzy x x z -=∂∂--=∂∂，、 .383323xy xy e xy yfe y xf =∂∂=∂∂、、 .3)1,2()1,2(9-=----极小值，、极小值点为f.) ()2( 210dy vfx u f dx v f y u f x f dy y z dx x z dz vfx u f y z v f y u f x f x z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∴∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂、解：).sin()cos(1)sin()cos(1122xy y xy x y z xy x y xy xy x z -=∂∂--=∂∂、解：.14111261 0214116 12+=-=--=+--z y x z y x 法线方程为：、切平面方程为：.cos )1(cos ),(sin 13221212f x f f x y y z f y z f x y y z x y y z xy f y xz x f '-'+'+=∂∂−−−→−'+∂∂+'+=∂∂++=≠'时当求偏导，得：的两边直接对、解：由已知方程 四、综合应用题.01,0,0 ) ,( 1.并求其最小值平方和为最小，的距离，使它到三条直线平面上求一点在=++==y x y x y x M xoy41)41 41( )41 41()4141( 012 0122)1() (222=------⎩⎨⎧=+++==+++=++++=，，且最小值为，求点为由问题实际意义可得所，得唯一驻点由，为到三条直线距离平方和解：点f y x y f y x x f y x y x y x f M y x ).146,141,142( ).(2-答案：所求点是用拉格朗日乘数法做提示：这是条件极值，五、证明题a yzc x z by x f z cz ay bz ax v u =∂∂+∂∂==--满足，所确定的函数，证明由方程具有连续偏导，，设) (0) ( ) (.1φφ ac b ac ab y z c x z b c b a y z c b a F F x z c b F a F a F cz ay bz ax z y x F v u v u v u v v u u z x vu z v y u x =++=∂∂+∂∂⇒+=∂∂+=-=∂∂⇒--===--=φφφφφφφφφφφφφφφ ) () ( ，，，则，，，令证：下面同上同理导得：如果直接将方程两边求注：v u v vu u v uu c b a y zc b a x zx z c x z b a φφφφφφφφφ+=∂∂+=∂∂⇒=∂∂-∂∂-0.)0(.2截距之和为常数三个坐标轴上的上任一点处的切平面在证明曲面>=++a a z y xa z y x z y x =++000000 ) ( 则，，，设曲面上任一点为解： a z y x z y x F -++=) (，，令，zF yF xF z yx21 21 21 ='='='，，则}21 21 21{00z y x n ，，法向量为=⇒ 0)(21)(21)(21000000=-+-+-⇒z z z y y y x x x 切平面方程为00000 z x y x x a ++=⇒的截距分别为切平面在三个坐标轴上，00000z y y x y b ++= 00000z y z x z c ++=000000000222 z y z x y x z y x c b a +++++=++故截距和为结论成立， )(2000a z y x =++=。