湖北省部分重点中学2013-2014学年高一下学期期中考试 数学理试题 考试时间：2014年4月14日上午8:00—10:00 试卷满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。

1．已知55sin =α，则αα44cos sin -的值为 （ ）A ．51-B. 53-C. 51D. 532. 在△ABC 中，30a =，20b =，︒=60A ，则=B cos （ ）A. 36B. 322C.36- D. 322- 3．已知a ，b 为非零实数，且a ＜b ，则下列命题一定成立的是（ ）A ．22a b < B.11a b < C. 3223a b a b < D. 22ac bc < 4.已知数列{}n a 为等差数列，且1713212,tan()a a a a a π++=+则的值为 （ ）B.C.D.5．若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，则m 的范围是（ ） A ．(1,9) B ．(,1](9,)-∞⋃+∞ C ． [1,9) D ．(,1)(9,)-∞⋃+∞6．已知数列1111{},,1(2)4n n n a a a n a -==-≥，则2014a =（ ） A ．45 B ．14 C ．3- D ．157．设a ＞0，b ＞03a 和3b的等比中项，则14a b +的最小值为（ ）A ．6B. C. 8 D. 98．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是( )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元 9．,A B 两地相距200m ，且A 地在B 地的正东方。

一人在A 地测得CD建筑C 在正北方，建筑D 在北偏西60；在B 地测得建筑C 在北偏东45，建筑D 在北偏西15，则两建筑C 和D 之间的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．1)m -10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3222011(1)2014(1)sin3a a π-+-=，3201320132011(1)2014(1)cos6a a π-+-=，则2014S =（ ）A. 2014B. 4028C. 0D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.若0x <，则4x x +的最大值为 。

12.若关于x 的不等式2122x x mx-+>-的解集为 {|02}x x <<，则m= 。

13．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3963,12S S S =-=，则6S = 。

14．已知sin()sin 032ππααα++=-<<，则cos α= 。

15．把数列{}12+n 中各项划分为：（3），（5，7），(9，11，13)，(15，17，19，21)，(23)，(25，27)，(29，31，33)， (35，37，39，41)。

照此下去，第100个括号里各数的和为 。

三．解答题（共6题，总计75分）。

16．（本题满分12分）已知2π<α<β<0，54=β-αcos 53=αcos ）（，。

（1）求α2tan ； （2）求βcos 。

17．（本题满分12分）已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量(cos ,cos )m B C =(2,)n a c b =+，且m n ⊥。

（1）求角B 的大小；（2）若b =，求a c +的范围。

18．（本题满分12分）已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列。

（1）若sin 2sin C A =，求cos B 的值；（2）求角B 的最大值，并判断此时ABC ∆的形状。

19．（本题满分12分） （1）阅读理解：①对于任意正实数,a b，2(0,0,a b a b a b-≥∴-≥∴+≥a b =时，等号成立．②结论：在a b +≥（,a b 均为正实数）中，若ab 为定值p ，则a b +≥，只有当a b =时，a b +有最小值．（2）结论运用：根据上述内容，回答下列问题：（提示：在答题卡上作答） ①若0m >，只有当m =__________时，1m m +有最小值__________． ②若1m >，只有当m =__________时，821mm +-有最小值__________．（3）探索应用：学校要建一个面积为3922m 的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m 和4 m 的小路（如图所示）。

问游泳池的长和宽分别为多少米时，共占地面积最小？并求出占地面积的最小值。

20．（本题满分13分）已知等差数列{}n a 满足4285,14a a a =+=,数列{}n b 满足3111,2na n nb b b ++==⋅。

（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列211{}log n b +的前n 项和； （3）若1n a n n c a +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S 。

21．（本题满分14分）已知数列{}n a 的首项1133,,1,2,521n n n a a a n a +===+。

（1）求证：1{1}n a -是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）证明：对任意的21120,(),1,2,1(1)3nn x a x n x x >≥--=++；（3）证明：212251n a a n a n n ++>-≥++。

2014年春季湖北省部分重点中学期中联考 高一理科数学答案1-10 BACBC BDDCA11． -4 12. -1 13. 9 14.10433- 15. 1992 16. 解：（1）24tan 27α=-。

6分（2）24cos 25β=。

12分17.解：（1）∵ m ＝(cosB ，cosC)，n ＝(2a+c ，b)，且m ⊥n.∴cosB(2a+c)+ b cosC=0。

2分 ∴cosB(2sinA+sinC)+ sinB cosC=0 ∴2cosBsinA+cosBsinC+ sinB cosC=0 即2cosBsinA=－sin （B+C ）=－sinA 。

4分 ∴cosB=－1／2 ∵0≤B ≤180 ∴B=120.。

6分 （2）由余弦定理，得acc a ac c a ac c a b -+=++=-+=222222)(32cos 2π222)(43)2()(c a c a c a +=+-+≥ 当且仅当c a =时，取等号.。

10分4)2≤+∴c a （ 2≤+c a 。

11分又3=>+b c a ]2,3(∈+∴c a 。

12分18．解：（1）sinC=2sinA 利用正弦定理化简得：c=2a ，。

2分 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b2=ac=2a2，即b=a ，。

4分∴cosB===；。

6分（2）∵b2=ac ，∴cosB==≥=，。

8分∵函数y=cosx 在区间[0，π]上为减函数， ∴B ∈（0，]，即角B 的最大值为，。

。

10分此时有a=c ，且b2=ac ，可得a=b=c ， 则△ABC 为等边三角形．。

12分 19.解：(2) ① 1 ，2 。

2分 ② 3，10 。

4分(3) 设游泳池的长为x m ，则游泳池的宽为392xm,又设占地面积为y 2m ，依题意，得392(8)(4)y x x =++。

6分整理y=424＋4(x ＋784x )≥424＋224=648 。

8分当且仅当x=784x 即 x=28时取“=”.此时392x=14。

10分所以游泳池的长为28m ，宽14m 时，占地面积最小，占地面积的最小值是6482m 。

12分20.解：（1）23n a n =-；14nn nb b +=，23123412314,4,4,,4n n n b b bbb b b b --====，以上各式相乘，得(1)(1)2142n n n n n b b --==，11b =，(1)2n n n b -=；。

4分（2）211111log (1)1n b n n n n +==-++， 22232111111log log log 11n nb b b n n ++++=-=++ 。

8分（3）221(23)(23)2n n n c n n --=-⋅=-⋅，22111232(25)2(23)2(1)n n n S n n --=-+⋅+⋅++-⋅+-⋅ 2121212(25)2(23)2(2)n nn S n n -=-⋅+⋅++-⋅+-⋅211(1)(2),12(222)(23)22(12)12(23)212(52)25n nn n nn S n n n ----=-+++--⋅-=-+⋅--⋅-=-⋅-得(25)25n n S n =-⋅+.。

13分11111312121.(1)a ,,21331111(1),3121,3121{1}.3312121,33343632n n n n nn n n n n n n nn a a a a a a a a a a +++-=∴=++∴-=--=∴-∴-----=-----+-==∴又是以为首项，为公比的等比数列分分()222222223(2)10,32112112111()=(11)[(1)]1(1)31(1)31(1)11=-2[][]---()a 11123112()()1(1)3321(1)334----130nn n n n n n n n n n n n n nn n a x x x x x x x x x a a a xa x x x x x x x a >+---+--=--+++++++-≤+-=+-=⋅⋅----+++++-⋅=解解法：1分()法知：由()()()()2224(30323132)231n nnnnx x x x ⋅-⋅+=≥+⋅++⋅+⋅12122221211(3)=-2(511(3212=1-)3232325n 1-------120,1222()1(1)33322221(1)1133333(1)13(1)32)n n n n n n n nn n na a a n n x n a a a a a nx x x x n n n a ++≤-+++=>+≥-+++-=++++++++++++-===--++左边不等式由 右边不等式由知，对于任意，知当时等号成立.分有取 则221411111(1)133n n nn n n a n n n ≥=>-----++-+-分。