相似三角形解题方法、步骤（教师版）作者: 日期: 2-4 -9上（ 5）相似三角形解题方法、技巧、步骤相似三角形解题方法、技巧、步骤「一、 相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等 形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广•因而 学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别;相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础.二、 相似三角形（1）三角形相似的条件： ①；②；③.三、 两个三角形相似的六种图形：^1过上的高求证只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔 加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决 四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1 ）先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件 最简单；2） 再而先找一对内角对应相等， 且看夹角的两边是否对应成比例； 3） 若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似 找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角 相等，两三角形相似a ）已知｛找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对_知两边成比例，两三角形相似上』边对应成比例，两个直角三角形相似「找另一角两角对应相等，两三角形相似c ） P 己知］找两边对应成比例判定定—或判定定理 戋顶角对应相等判定定_找底角对应相等判定定_ 找底和腰对应成比例判定定_3△ sA 2，3,则 dsA 3）g似形的传有若五、“三点定形法”定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代 表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形， 若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横 定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线 段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明 这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而 去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并 不好， 例1、 求证： ,即由有关线段的三个不同的端点来确应当运用基本规律去解决问题。
已知：如图，△ ABC 中 ,CE 丄AB,BF 丄AC.AE AC AF " BA（判断“横定”还是“竖定”？）例2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，/ BAC 的 平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC - AE=AF - AB 吗？ 说明理由。
分析方法:1 ）先将积式2） ______（“横定”还是“竖定”？）例1、 已知：如图，△ ABC 中，/ACB=9（0,AB 的垂直平分线交AB 于D,交BC 延长线于F 。
CD=DE ・ DFO分析方法：1 ）先将积式 2） ______（“横定”还是“竖定”？）六、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活 地运用 过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明. 1、等量过渡法（等线段代换法）遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式 中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角 形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不 相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等 的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的 辅助线。
然后再应用三点定形法确定相似三角形。
只要代换 得当，问题往往可以得到解决。
当然，还要注意最后将代换 的线段再代换回来。
例1 :如图3，△ABC 中，AD 平分/ BAC ， AD 的垂直平 分线FE 交BC的延长线于 E .求证：DE 2= BE-CE .分析：2、等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换 时，可以考虑用等比代换法即考虑利用第三组线段的 比为比例式搭桥，也就是i 分析，找到与求证的结论 换，然后再用三点定形 过对已知条件或图形的深入 某个比相目等的比，并进行代 形。
例2:如图4，在BAC=9C ° , AD 丄 BC ，E 是 AC 的中点,ED 交AB 的延长线于点F .求证：=ABAC3、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。
例3:如图5，在AABC中，/ ACB=90，CD是斜边AB 上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE丄AG,垂足为E，交CD于点F.求证：CD2= DF-DG .V（1题图）（2题图）2 .如图，△ ABC中，点DE在边BC上，且△ ADE是等边三角形, / BAC=120求证：（1 ）△ ADB^A CEA;2、DE>=BD- CE;（3）AB • AC=AD BC.3.如图，平行四边形ABCD中，E为BA延长线上一点，// ECA.求证：AD- EC=AC- EB .（此题为陷阱题，应注意条件中唯一的角相等，考虑平行四边形对边相等，用等线替代思想解决）6 .如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，连接AE交CD于F,过F 作FM// BE交DE于M.求证：FM=CF.（注：等线替代和等比替代的思想不局限于证明等积式，也可应用于线段相等的证明。
此题用等比替代可以解决。
）7D如图，△ ABC中，AB=AC点D为BC边中点，CE// AB,BE分另U交AD AC 于点F、G,连接FC.小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例: 不相似，不用急：等线等比来代替。
” 同类练习：横找竖找定相似;1.如图，点D、E分别在边AB、AC上，且/ 求证：（1 ）△ ADE^A ACB; (2)AD ADE=/ C• AB=AE- AC.5 .如图，E是平行四边形的边DA延长线上一点，EC交AB于点G,交BD于点F,求证：FC2=FG- EF.（此题再次出现四点共线，等线替代无法进行，可以考虑等比替代。
）卜的平分D=件，等4 .如图，AD 为^ ABC中/ BAC线，EF是AD的垂直平分线。
求证：FD2=FC- FBo（此题四点共线，应积极寻找条线替代，转化为证三角形相似。
）七、证比例式和等积式的方法： 对线段比例式或等积式的证明：常用三点定形法”等线段替换法、中间比过渡法、面积法等•若比例式或等积式所涉及的线段 在同一直线上时，应将线段比 转移”必要时需添辅助线），使其分 别构成两个相似三角形来证明. 可用口诀：遇等积，改等比，横看竖看找关系；三点定形用相似，三点共线取平截；平行线，转比例，等线等比来代替；两端各自找联系，可用射影 和园幂.9 .如图，ABCD 为直角梯形，AB// CD,AB 丄BC,AC 丄BD AD=BD 过 E 作 EF// AB 交 AD 于 F.是说明：(1) AF=BE;(2)AF2=AE- EC.如图5在AABC 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 边上DF 丄AB 于F ,交AC 的延长线于 H ，交BE 于G ，（1）FG / FA = FB / FH （2）FD 是 FG 与 FH 的比例1说明：证明线段成比例或等积式，通常是借证三角形相似.找 相似三角形用三点定形法（在比例式中，或横着找三点，或竖着找 三点），若不能找到相似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式 代换，或直接找等比代换例2 如图6，mBCD 中，E 是BC 上的一点，AE 交BD 于 点 F ，已知 BE :EC = 3： 1，S ^^BE = 18，求：（1）BF : FD11.已知，CE 是 RTAABC 斜边AB 上的高，在EC 延长线上任取一 点P,连接AP,作BG 丄AP,垂足为G ，交CE 于点D. 试证：CE?=ED- EP.（注：此题要用到等积替代，将 CE?用射影定理替代，再化成比例2说明：线段BF 、FD 三点共线应用平截比定理•由平行四 边形得出两线段平行且相等，再由 平截比定理”得到对应线段成比例、三角形相似；由比例合比性质转化为所求线段的比；由面 积比等于相似比的平方，求出三角形的面积.例3 如图7在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线， M 是AD 的中点，CM 的延长线交 AB 于N .求：AN : AB 的值；求证：(1) BF=CF.(2)BF 2=FG- FE.(式。
）例1 的高, 求证: 中项.c%10.A ABC 中,/ BAC=90 ,AD 丄 BC,E 为 AC 中点。
求证：AB:AC=DF:AF(2)S Z FDA8 .如图，/ ABC=90 ,AD=DB,DE1 AB,3说明：求比例式的值，可直接利用己知的比例关系或是借助己知条件中的平行线，找等比过渡.当已知条件中的比例关系不够用时，还应添作平行线，再找中间比过渡.4说明：证明线段的等积式，可先转化为比例式，再用等线段替换法，然后利用三点定形法”确定要证明的两个三角形相似•、两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系.然P所在的位置.本题有多个位置，应注意计算，严5说明：要证明两个三角形相似可由平行线推出或相似三角形的判定定理得两个三角形相似.再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到线段的长.例11.中线，CF/ BA，BF交AD 于P点，交AC于E点。
求证：BP2=PE - PFo例4 如图8在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE丄AC交AC于F，过F作FG // AB交AE于G.求证：AG 2 =AF 汗C7说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系•然后再确定顶点P所在的位置•本题是开放性题型，有多个位置，应注意计算，严防漏解.例DAB = 7得以形相似C CD中，AD // BC，Z A= 90°，在边AB上确定点P的位置，使2在梯形P B GD—「试;丁三角形与以P、B、C为顶点的三角例6如图10 a △ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F和E.过点D作DM // FC交AB 于点M . (1)若S/AEF：S 四边形MDEF =2 : 3,求AE：ED ；(2)求证：AEXFB= 2AF >€D6说明：由平行线推出两个三角形相似，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到两线段的比.注意平截比定理的应用.例7 己知如图11在正方形ABCD的边长为1, P是CD边的中点，Q在线段BC上，当BQ为何值时，MDP 与△QCP相似？11分析：因为BP、PE、所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为点，由等腰三角形的牲质D是BC连结PC,由线段垂直平分线的质知E 的中点, ED交A M勺延长线于求证：ZC AFoPCF,问题就能三条线段共线，找不到两个三角形，AB=AC，D 是BC 中的垂直平分线，如果我们PB=PC,只需证明厶PEC•如图，知：BC 中, / BAC=900，AD 丄BC，F o12分析：比例式左边AB，AC在^ ABC中，右边DF、AF在^ ADF中，这两个三角形不相似，因此本题需经过中间比进行代换。