离散系统与连续系统的比较
• • • • • • • • 连续系统 微分方程 微积分运算 δ (t),h(t) 卷积积分 系统函数H(S) 拉氏变换 连续傅立叶变换 • • • • • • • • 离散系统 差分方程 差分序列和运算 δ (k),h(k) 卷积和 系统函数H(z) Z变换 离散傅立叶变换
对比： ( t ) ( ) d
求导
（ 3 ） G N ( k ) ( k ) ( k N ) 宽度是 N 1N 个单
g ( t ) ( t ) ( t )

2
宽度是
正弦序列周期性判定：
பைடு நூலகம்
离散正弦序列 x k sin k 是周期序列
系统分析概述
连续时间系统——微分方程描述
经典法：齐次解 特解 时域分析 ） 零输入响应 零状态响应 ( 卷积积分 变换域分析 :傅里叶变换法和拉氏变 换法
离散时间系统——差分方程描述 差分方程的解法与微分方程类似
经典法：齐次解 特解 时域分析 零输入响应 零状态响应（卷积和） 变换域分析 : z变换法
X(k)
X(k+1) X(k)
k
k
K+1
2.差分方程
离 散 系 统 差 分 方 程 ( 后 向 差 分 )
1 n 1 n 0 1 m 1 m
y ( k ) a y ( k 1 ) ay ( k n 1 ) a y ( k n ) b x ( k ) b x ( k 1 ) b x ( k m 1 ) b x ( k m ) y(-1), y(-2), y(-3), y(-n)( 初始状态）
0
2．单位阶跃序列
(k )
1 (k) 0
k 0 k 0
1
1 O

1 23
k
(k k 0 )
1 kk 0 ( k k 0 ) 0 kk 0
1
O

k0
( k ) 1 ( k 1 )
(k )

1
k
对比 : ( t ) 1 ( t )
第一节
离散序列重点
(k ) (k )
1
O
(k k 0)
1
O
1
三个重要序列：
0, k 0 (k) 1, k 0 0 ,kk 0 时移性 (kk 0) 1 ,kk 0 ( k ), c ( k k 0 ) 比例性 c
1.单位序列
k
第五章离散系统的时域分析
主要内容 •离散时间信号及其描述、运算； •离散时间系统的数学模型——差分方程； •线性差分方程的时域经典解法（了解）； •离散时间系统的单位响应（重点）； •离散卷积和（求零状态响应）（重点） 。 学习方法 注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、区 别、对比，与连续系统有并行的相似性。和前几章 对照，温故而知新。
【例5－2】
某人按月存款x(k)元，k=1,2 表示第k月，银行月 利率为a，按复利计算，则第k月后的本利和为
y ( k ) y ( k 1 ) y ( k 1 ) x ( k )
本金 利息 本月存
整理得:y(k)-(1+a)y(k-1)=x(k)
另例：
• T型二端口级联，求各节点电压
x k
Y z
x k a a
z 1Y z
D
z 1
单位延时实际是一个移位寄存器，把前一个离 散值顶出来，递补。
例5-4
( k ) ay ( k 1 ) f ( k ) • 已知差分方程为: y 则画出框图为：
f k

-
y k
a
D
例5-5
已知框图：
1.差分
一阶前向差 x 分 (k) ： x(k 1 ) x(k) x(k 1 ) x(k 2 ) x(k 1 ) 一阶后向差 x 分 (k)： x(k) x(k 1 )
2 二阶差分 ： x(k) [ x(k)] [x(k 1 ) x(k)] x(k 2 ) x(k 1 ) x(k 1 ) x(k) x(k 2 ) 2x(k 1 ) x(k)
k0
k
( k ) ( k ) f ( 0 ) ( k ) 抽样性 f
) ( t ) 用面积 强度 表示， t 0 ，幅度 ; 说明： 1 ( k ) 在 k 0 取有限值 不是面积 。 2）利用单位序列可表示任意序列
3）序列的分解
根 据 （） k 的 意 义 ， 任 何 序 列 可 以 用 其 表 示 f (k)(k) {f (0 ), f ( 1 ) ,f ( 2 ), } f (0 ) (k) f ( 1 )(k 1 ) f (2 )(k 2 ) f (i) (k i)
当前输出 前一个输出 输入
(3) 由系统框图写差分方程
基本单元
加法器： x1k
x1k x2 k x2 k
x1(k)

x1k x2 k
x2 k
乘法器：
x1k x1k x2 k x2 k
标量乘法器
x k
延时器
y k
a
a x k
y k 1
注意:离散变量不是表示时间,而是电路中结点顺序编号.
u s,u (n ) 0 (0) u
ic
(2)由微分方程导出差分方程 (即用差分方程近似处理微分方程问题)
d y t ay t f t d t
其中：
t y ：输出
f t ：输入
时 间 间: 隔 T, 如 足 够 小
一阶前向 差分方程
一阶后向 差分方程
D
y k 1 x k ay k
1 或 y ( k ) y k 1 x k a
一阶前向差分方程
二．差分方程的特点
(1)输出序列的第k个值不仅决定于同一瞬间的输入值， 而且还与前面输出值有关，每个输出值必须依次保留。 (2)差分方程的阶数：差分方程中响应变量的最高和 最低序号差数为阶数。 如果一个系统的第k个输出决定于刚过去的几个输出 值及输入值，那么描述它的差分方程就是几阶的。
f k

-
D
y k
a
则差分方程为：y k 1 f k ay k
例5-6
如图框图，写出差分方程
x k y k

a
x k

a
D
y k
解： k 1 yk xk ay
或表示 :为 xk 1 ay k yk 1
i 0
}
序列的卷积和运算 对比：

fk ()() k fi ( )( ki ) fk ()() k () k
i 0

f() t )( t ) d f() t () t f( f() t () t )( t ) d f() t () t () t f(
连续（离散）周期信号 之和的周期性： T N＝７ 1 N （ 1) 为有理数，周期为它们 的最小公倍数 T 2 N 2
N 2 n 为有理数时才是周期的
离散信号的能量和功率 能量有限的信号为能量信号
E
k
f (k)
N 1 2

2
功率有限的信号（如所有周期信号）为功率信号
例题： f (k) [ 3 , 2 ,1 ,0.1 ]
u (0)

R u (1) R

0
R u (n 1) R
u ( n)
us

R

R
u (0) us u (n) 0
u (k )
ia
R u (k 1) R
ib u (k 2)
R
ia ib ic u (k) u (k 1 ) u (k 1 ) u (k 2 ) u (k 1 ) R R R (k2 )3 u (k1 )u (k) 0 u
1
1 0
G ( k ) ( k ) ( k 3 ) 正确 3
k
G ( k ) ( k ) ( k ２ ) 错误 3
对比连续门函数 : g2(t 1 ) (t) (t 2)
1 2 3
以上三种序列的关系：
( 1 ) (k)可以看作是无数个单位 样值之和 :
即： ( k ) ( k ) ( k 1 ) ( k 2 ) ( k 3 ) ( k ) ( k k 0 )
k 0 0
t

i

k
(i )
( t) ( t) （ 2 ） ( k ) ( k ) ( k 1 )差分

1 P f (k) N k0
E
k 2
f (k )
2
2
15J
f (k) cos( 0.5k)
1 3 1 2 P cos(0.5k ) W 4 k 0 2
第二节 时域离散系统
•数学模型－差分方程 •差分方程的建立 •差分方程的特点 •离散系统的性质
一．数学模型——差分方程
k代表序号
若在t=kT 各点取得样值 y t y kT y k
f t f kT f k
y k y k 1 ay k f k T 1 T y k y k 1 f k 1 aT 1 aT
x k N x k