0
0
2( x x 3) 1 v 2 2
v 2 x x3
“-”舍去
注意:当已知a(v)时，也可采用此方法。
a(v) v dv ; dx vdv 即可。
dx
a(v)
课堂练习
题3：一质点在xy平面内运动，其运动函数为，
x R cost, y R sin t
式中R 和ω为正值常量。求任意时刻t 质
r t
dr dt
位置矢量对时 间的一阶导数
在直角坐标系中:
r x(t)i y(t) j z(t)k
v
dr
d
x(t)i y(t) j z(t)k
dt dt
vxi vy j vzk
速度是矢量，有大小有方向
速度的大小 : v
v
vx2
v
2 y
v
2 z
t 时刻速度的方向：质点沿运动轨迹的切线， 且指向运动一方。
1. 矢量性 2. 瞬时性 3. 相对性 ：与参考系的选择有关。
质点运动学的两类问题
1.
已知质点的运动方程
r
r,求(t)4个基本物理量：
位矢、位移、速度、加速度。
2. 3.
a注 度t意0 ，，求必质须点根在据某运个动时方刻程t0（的矢速量度v式t0或 分和量加速
式），
4. 通过对t求导，得到任意时刻的v 和a，再将
注意！
2、瞬时速度与瞬时速率
3、r质 点r作2 平r1面不曲要线将运动r，与运动r 方混程淆为。
r( r
t)
2ti r2
r1
t
2
j
求质点在1～3s内的平均速度和 t=3s 时的速度。
4、质点在平面上运动，分别指出下列三种
情况中质点做何种特征的运动。
(1) dr 0 (2) dr 0
向轨迹曲线凹的一侧。
1. 掌握位矢、位移、速度、加速度等描述质点运
动的物理量（基本概念）。
r
rt
xt
i
yt
j
r v
r2 dr
r1 xi
dx
i
dy
yj j
dt dv
dt d2
r
dt d2x
d2y
a dt dt 2 dt 2 i dt 2 j
描述质点运动的物理量的三个共性：
2. 已t知=t质0 点的加速度 at 和运动的初始条件（t=0
5.时代的入r0即和可v0）。，通过积分，求出质点的速度和位
置矢量。
例1：r已知2质ti点 运(19动方2程t 2 )：j
y
17
P
r
11 Q
求：（1）在 t=1s 到 t=2s 这一段时
r1
间内，质点位移大小和方向。
r2
（2）当 t=1s 时，质点的速度
R
cos tj
dt
大小为
v
vx2
v
2 y
R
y
v
质点作匀速率圆周运动
r
tg vy cost ctgt
o
x
vx sin t
t 2 2
β：速度方向
与x 轴夹角
a
dv
R 2
costi
R 2
sin tj
dt
2
R costi R sin tj
2
r
大小为
a
a
2 x
矢量式
x x(t) , y y(t) , z z(t) 分量式
消去 t 即为质点运动的轨道方程(在空间经过的路径）
位移：质点在一段时间内位置的改变（大小和方向）
y
P(
x1
,
y1, z1 , t )
Q( x2 ,
y2 ,
z2, t
t )
rP
x1i
y1
j
z1
k
rQ x2i y2 j z2k
B
O RA
lim lim lim
a
t 0
v t
t 0
vn t
t 0
v t
ann a
法向加速度： an
lim vn
t0 t
vs lim
t0 Rt
v s lim
R t0 t
lim s t0 t
ds dt
v
an
v2 R
方向 n 指向圆心。
切向加速度：
a
lim v
t0 t
z
r OP
表明了P点到原点的距离。
质点被限制在一平面内， 大小和方向分别为：
如在XY平面内运动，其位
置矢量表示为：
r x2 y2
r xi yj
arctg( y x )
质点的运动方程：
质点的位置随时间t的变化，即位置矢量的大小
和方向随时间t的变化。
r r (t) x(t)i y(t) j z(t)k
坐标系 固定在参考系上，定量描述空间位置的有次序的
一组数。（直角坐标系、极坐标系、自然坐标系）
二、 运动的描述－位置、位移、速度、加速度
位置矢量 质点位置的确定：
y P(x,y,z)
直角坐标系 P（x ,y , z）
位置矢量r :
r
x
原点到P点的有向线段OP，其
o
方向说明了P点相对于坐标轴 的方位，其大小（即它的模）
dt
dt
(3) dv 0
dt
5、积分问题。(不定积分和定积分一样，建议 用定积分）
6、矢量式与分量式的一致性，在解题时可以相互应 用，结果是一样的。（高中时更多的是用分量式， 分解为x、y方向；在大学中要理解并应用矢量式。）
➢ 掌握直角坐标系下质点运动的位矢（位置矢量）、 位移矢量、速度矢量、加速度矢量的概念，可以在 直角坐标系下熟练地计算质点平面运动时的速度和 加速度。
路程是实际通过的路径长度，
是标 量，过程量。 一般 r S
y
P(t) S
r
rP
rQ
o
Q(t+△t)
x
z
以下两种情况中，位移的大小与路程相等：
1、方向不变的直线运动中，
r
s
2、当△t→0 时，
r
s
速度：描述质点位置变化快慢和方向的矢量
在t 内
1. 平均速度
v
r
2. 瞬时速度
v
t
lim t 0
题2：一质点作沿x轴运动，已知：a 2 6 x2
t 0时 x0 0 ; v0 0 求v( x)
【解】 a dv ; dv (2 6x2 )dt
dt
应用微分 变换：
a dv dv dx v dv dt dx dt dx
adx vdv
x (2 6 x 2 )dx
v
vdv
P(t)
r
rP
rQ
Q(t+△t)
x
o
位移矢量：质点初位置指向末
位置r 的 有PQ向线rQ段。rP
z
r ( xi
x2 x1 )i ( yj zk
y2
y1 ) j
r
(z2 z1 )k
x2 y2
z2
1、位移是矢量，既有大小又有方向。 2、位移与路程是两个不同的物理量。
位移只决定于始末位置，与 过程无关，状态量；
➢ 掌握运动学两类基本问题的计算。
三、 典型运动—圆周运动
圆周运动是曲线运动的一个重要特例，一般
圆周运动中质点的速度大小和方向都在改变， 并普遍采用自然坐标系。
一. 切向加速度和法向加速度
t 时刻
A点：
v
A
t+t
时刻
B点:
v
B
v
vB
vA
vn
v
vn 方向改变量
v 大小改变量
v
vB
vA
v vn
对两边积分：
v
dv
t
2tdt
;
0
0
v dx t 2 (1) dt
dx t 2dt ;
x
dx
t t 2dt ;
x 1 t3
(2)
0
0
3
把t=2s分别代入(1)、(2)得：
v 4m / s
;
x
8 3
2.67m
第二类问题：加速度（积分）速度、位置
归纳
设质点加速度 a
a
da已vt知 ，当t=d0v时，adtv
二. 圆周运动的角量描述
角位置（角坐标）： t
角位移： 单位：rad 角速度： lim d
t0 t dt
角加速度：
lim
t0 t
d
dt
d 2
dt 2
速率和速度是两个不同概念
1. 平均速率 2. 瞬时速率
v
v
s
t
lim v
s ds
t0 t dt
速率是标量，瞬时速度的大小等于瞬时速率
瞬时速度的大小与瞬时速率的关系
t 0
dr dS
r
r S
lim lim v v
t t 0
S t0 t
lim lim
r
S
S t t0
t 0
lim S dS
点的位置、速度和加速度矢量的表示式。
【解】 将 t 消去可以得到轨道方程
y
x2 y2 R2 质点沿此圆周运动
位置矢量表示为
r xi yj
r
o
x
R costi R sin tj
大小为
r
x2 y2 R
tg sin t tgt cost
速度v可以d由r位矢对Rt求导si得n 到ti