（2）剪切和挤压
剪切变形
剪切变形
挤压变形
（3）扭转
Me
g
j
Me
（4）弯曲
Me
Me
研究方法
将构件变形形式分为四种基本变形：
轴向拉伸 和压缩
剪切
扭转
弯曲
基本变形：
不同的外力 不同的内力 不同的变形
不同的计算公 式
实际构件受力情况多种多样 考虑主要外力作用，归到基本变形
几种力都不能忽略，归到组合变形
P
N1 2P（拉力）
N2
X 0
N 2 + P - 2P 0
N2 P（拉力）
直接根据外力计算内力的方法：
（1）取截面一侧为研究对象，确定截面正轴力 方向；
（2）观察研究对象上的各个外力的方向，与截面正 轴力同向的引起的内力为负值；异向为正。 （3）将判断正负后的外力代数相加即为截面轴力值。
例：求图示杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力 并作轴力图 解：
N 1 10 kN N 2 -5 kN N 3 -20 kN
+ -
N 1 10 kN N 2 -5 kN N 3 -20 kN
计算图示各段轴力并做轴力图
3 1 f20 4kN 1 5kN 1kN 6kN 2 f10 f30
安全
一对矛盾 经济
荷载、截面一定，校核是否安全
材料、截面一定，求允许荷载
任务：研究构件的强度、刚度、稳定性，为工程设计提供理论 依据和计算方法。
4
杆件变形的基本形式
杆件的基本变形： 拉（压）、剪切、扭转、弯曲
拉压变形
剪切变形
扭转变形
弯曲变形
（1）轴向拉伸和压缩
拉伸 变细变长
压缩 变短变粗
拉力与压力都是沿杆的轴线方向
截面单杆：任意隔离体中，除某一杆件外，其它所有待求内
力的杆件均相交于一点时，则此杆件称为该截面的截面单杆。 截面单杆的内力可直接根据隔离体矩平衡条件求出。
O
X 0 Y 0 M 0
y
1
取桁架中包含两个或 两个以上结点的部分为 分离体,其受力图为一平 面任意力系,可建立三个 独立的平衡方程。 例：求指定三杆的内力 解：取截面以左为分离体 由 ∑ MC=3aP－Pa－N3h=0 得 N3 =2Pa/h 由 ∑ Y=Y2+P－P=0
C h 3 6a P N1 N2 D a N3
2
A D
P
P
C
P
由 ∑ MD=2aP+N1h=0 得 N1=－2Pa/h
P 2a P
得 Y2=0 ∴ N2=0
截面法可用来求指定杆件的内力。 对两未知力交点取矩、沿与两平行未知力垂直的方向投影 列平衡方程，可使一个方程中只含一个未知力。
h
四
结点法与截面法的联合应用
N12
3 N12 + N13 0 5
40
N12 60 KN（拉力）
3
-90 30
5
-90
7
60 80
H=0
+ 15 75
60
2 40kN
60
4 60kN
75
6 80kN 8
4×3m=12m V1=80kN V8=100kN
4m
_
40
+
75 _ 40 0 20 80 100
4.2 截面法 1、 平面一般力系
2.2 剪力和弯矩正负号的规定
剪力正负号
正
Q Q
负
剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正；反之为负。
弯矩正负号
M M M
正 负
M
弯矩M使梁变成下凸的为正；使梁变成上凸的为负。
解 （1）求支座反力
RA= 125kN (↑)
RB= -25kN (↓)
（2）求1-1截面上的剪力和弯矩 ∑Y=0 －Q1－100 =0 Q1=－100kN
2 轴力
与杆轴线相重合的内力，称为轴力
P
I
II
P
P
I
N
SX=0：+N-P=0
N=P （拉力）
SX=0：-N'+P=0
N'=P
N'
II
P
正负规定：轴力以拉力为正，压力为负。
截面法求内力举例：求杆AB段和BC段的内力
2P 2P A 1 P B 2 C P
1
N1
2
X 0
2P
N1 - 2P 0
Y 0
4 N13 + 80 0 5 N13 -100 KN (压力）
Y 0
N35
4 4 N 34 + 40 + N13 0 5 5 N34 50 KN (拉力）
结点3
3
1 80
X 0
X 0
3 3 N 35 - N13 + N 34 0 5 5 N 35 -90(压力）
2kN 3kN
2 3
N
+ 1kN
2kN
+
|N|max=5kN
4 平面桁架内力计算
桁架是由链杆组成的格构体系，当荷载仅作用在结点上 时，杆件仅承受轴向力，截面上只有均匀分布的正应力，是最 理想的一种结构形式。 理想桁架：
上弦杆
腹杆（竖杆和斜杆） 下弦杆
（1）桁架的结点都是光滑无摩擦的铰结点； （2）各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心； （3）荷载和支座反力都作用在结点上
j
受力特征：在杆的两端垂直于杆轴的平面内， 作用着一对力偶，其力偶矩相等、方向相反。 变形特征：杆件的各横截面环绕轴线发生相对 的转动。
2.2 扭矩
扭转变形的杆往往称之为扭转轴
扭转轴的内力称为扭矩
杆件在产生扭转变形时的内力用截面法求 解。
m
m
m
Mn
m 0 m 0
Mn - m 0
零杆可直接根据静力平衡条件判断。
N1 N1 N1 0 N1 N2 0 N2 N2 N2
N3
N1 N 2 N 3 0 N1

N1 P
P
N2
N2 0
N 2 - N1
判断零杆
P
C B A F E D
D E F k M
P
C B A H N
H
D
C
7
10
4
1 C
8
9 A 11
A
x
b
解：（1 ）计算支座反力
M
B
0
B M
l
A
0
Pb RA () l Pa RB () l
RA l P b
(2)计算指定截面内力
RA
M1
RA
x
M 1 P
R BY 0
Pb Q1 RA l M 0
Q1
Q1
Pbx M 1 RA x l
RB
Mn m
Mn
Mn - m 0
m
Mn m
扭矩Mn正负号的规定
确定扭矩方向的右手螺旋法则：
用右手4个手指沿扭矩转 动的方向，大拇指离开截 面则扭矩为正，指向截面 则扭矩为负。 扭矩单位：N.m 或KN.m
指向截面
扭矩图：反应沿杆轴各截面 上扭矩变化规律的图形。
离开截面
例2-5 传动轴如图所示，传动轮A、B、C上作用外力偶为MB= 10KN.m，MA= 4KN.m ， MC= 6KN.m，试计算各段的扭矩并 绘出扭矩图。 B A C 解：（1）计算各段扭矩 AB段 Mn1设为正的 MA
F5
F1 F2
m

F4

F5
m
F3
F1 F2
F4


F3
一、轴向拉伸（压缩）时的内力
1、如何判断轴向拉伸（或压缩）变形？
当沿杆轴线方向作用一对大小相等、方向相反的外 力时，杆件将发生轴向伸长（或缩短）的变形，这 种变形称为轴向拉伸（或压缩）。
A
C
拉伸 变细变长
G
压缩 变短变粗
B
判别方法：外力（或外力的合力）都是 沿杆的轴线方向。
P
P 5N 1 N 5 N2
2P N1
3、竖杆 1 取结点7为分离体。由于对称：N3=N5 由∑Y=0 得： P N1 N Y5+Y3+ P+N2=0 N5 N3 ∴N2=－P/2
N2
1
2P 2P 2
N6 N3 N4 2
N4

计算图示桁架杆件1、2、3的内力
5KN G H
5KN C D
2
E
5KN F
直杆: 曲杆：拱
折杆：刚架
研究对象：弹性范围内，均匀连续、各向同 性、小变形的等直杆
3 研究内容
构件的承载能力
构件：组成结构物的最小单元 强 度：即抵抗破坏的能力
刚
度：即抵抗变形的能力
稳定性：即保持原有平衡状态的能力
计出的结构要有承载能力 用材越少越好 三类强度计算： 荷载、材料一定，计算截面积
为了使计算简捷应注意：
1）选择一个合适的出发点；
2）选择合适的隔离体；
3）选择合适的平衡方程
求指定杆的轴力。 先求出反力。
P/2
4
P 5 Ⅰ1
6
P Ⅱ 7 5 6
2 3
P
P/2
1、弦杆
N1= －P N4= P
1
4 2 Ⅰ 3 Ⅱ 4m
P/2 4m P/2 5 4 6 4m
4m 2、斜杆 2P ∵结点6为K型结点。 ∑M2=N1×6+（2P－P/2）×4=0 =－ N ∴N 6 N1 =－ P 5 ∑4Y=0 Y6+2P 再由 －）× －P －P/2=0 ∑ M5=N 4=0 ×6 －得： （2PY － 5P/2 N4 =P ∴Y ∴ N6=－N5=5P/12 6=P/4