同时考虑两个因素对多个总体均值的影响 如同时考虑专业和性别对工资收入的影响； 同时考虑温度和施肥量对粮食产量的影响 分为： 1.无交互作用的双因素方差分析 2.有交互作用的双因素方差分析
5.3.1无交互作用的双因素方差分析
两个因子对现象的影响是相互独立的 两个因素各自对现象有影响 两个因素搭配在一起对现象没有影响
5.3.2有交互作用的双因素方差分析
两个因素各自对现象有影响 两个因素的搭配对现象也有影响 两个因素的不同搭配水平对现象有不同的影响 利用EXCEL的方差分析功能进行计算和分析
本章小结
方差分析是基本的统计分析方法之一 在各总体方差相等的前提下,检验总体的均值是 否有差异 单因素方差分析：只考虑一个影响因素对各总 体均值水平的影响 双因素方差分析：同时考虑两个因素水平对各 总体均值水平的影响 1.无交互作用 2.有交互作用
5.1方差分析的原理
假设各总体的均值相等，没有显著差异。
H0 : 1 2 k H1 : 1 2 k
在原假设成立的条件下，抽样，利用样本的信息检验原 假设 如果检验结果，接受原假设，认为因素水平对总体均值 没有显著影响。 如果检验结果，拒绝原假设，认为因素水平对总体均值 有显著影响
5.1方差分析的原理
通过比较样本方差，进行方差分解，来检验原假设
在方差分析中通常用两个方差来衡量：一个是基于样本 均值之间差异的因素水平间方差，组间方差。另一个 是基于样本内部差异的因素水平内方差，组内方差。
如果这两个方差的比值近似为1，方差分析的结果可以得 到总体均值相同，无差异。如果这两个方差的比值偏 离1，方差分析的结果可以得到总体均值不相同，有差 异。
第 5章 分类变量对数值变量的影响 （方差分析）
方差分析
方差分析的思想 单因素方差分析 双因素分析
方差分析
问题的提出： 1.了解不同专业毕业的学生在第一年工作中所获得的平均收入是否 有显著差别？影响平均收入的因素是？专业、性别、能力、职业 2.不同地区人口的期望寿命是否有显著差别？ 影响期望寿命的因素有：收入水平、医疗水平、气候、生活水平 3.不同地区在第一季度的平均温度是否有显著差别？ 影响温度的因素有：地理位置、季节因素 方差分析就是针对一定因素（Factor）分析各总体的各个因素水平 （ Factor level ） 是 否 有 差 异 。 方 差 分 析 的 对 象 称 为 因 素 （Factor），因素的内容称为因素水平（Factor level）。 单因素方差分析（One-Way analysis of variance）:针对一个因 素进行分析 双因素方差分析（Two-Way analysis of variance）：针对两个因 素进行分析
方差分析中所用到的概率分布是 F 分布， 该分布是为纪念著名统计学家R.A.Fisher （ 1890 － 1962 ）而得名。因素水平间方 差和因素水平内方差之比也服从 F 分布。
因素水平间方差 F 因素水平内方差
5.2单因素方差分析
水 平 A1 X11 x12 x13 A2 X21 x22 x23 A3 X31 x32 x33 抽样结果 x1r x2r x3r 平均
5.2单因素方差分析
1.做出原假设和备择假设
H0 : 1 2 k H1 : 1 2 k
2.计算每一种因素水平下的样本均值
xj
j
x
i 1
r
ij
r
3.计算总均值
x x kr
ij
x k
5.2单因素方差分析
在单因素方差分析中，有三个平方和（SS）：总离差 平方和 SST 、因素水平间离差平方和 SSR 、因素水平内 离差平方和SSE。这三个平方和之间存在以下关系式。
x （ 1 ）SST x x x n （2）SSE [ x x ]
2 2 ij 2 ij j
SST SSR SSE
2
(3)SSR x j x (4)SSR SST SSE
j
2
5.2单因素方差分析
方差类型 因素水平间方差 因素水平内方差 总方差 离差平方和SS SSR SSE SST 自由度df k-1 n-k n-1 均方误差MS SSR/(k-1)=MSR SSE/(n-k)=MSE F值 MSR/MSE
SSR /(k 1) F(k 1, k (r 1)) SSE /(n k ) F (k 1, (n k ))
将F统计值与临界值比较
F F (k 1, (n k )),拒绝原假设 F F (k 1, (n k )),不能原假设
5.3双因素方差分析
方差分析：分析某个（两个）因素对多个总体的 均值是否有显著影响？ 方差分析的前提条件：被检验的样本为服从正态 分布总体中的随机样本，各个总体的标准差相 等，并且样本的选择是独立的 在各总体方差相等的前提下，分析某个因素对多 个因素水平均值的影响是否显著？ 在各总体方差相等的前提下，检验多个总体的均 值是否相等？
x2
ห้องสมุดไป่ตู้
x1
x3
xr
Ak Xk1 xk2 xk3
xkr
H0 : 1 2 3 k
单因素方差分析是只针对一个因素进行分析，旨在分析 该因素对样本的观察值是否产生影响，各因素水平的样 本容量大小可以一致，也可以不一致。单因素方差分析 一般分为： （1）建立原假设和备择假设； （2）确定显著性水平； （3）建立检验统计量；F （4）确定临界值； （5）计算F统计量值，并于临界值比较。 （6）做出决策。