8.5 完全离散险种 考虑每年年初缴纳保费,死亡保额在死亡年度 末给付的险种的净保费.
8.5.1 基本模型
考虑定期寿险. 投保年龄为x岁, 保额为1 元的n年 1 期寿险, 年均衡净保费记为 P x:n | 保险人未来给付的现值可以表示为 vK 1I {T ( x )n} 投保人缴纳保费的现值为 P1 a .
人的成本部分。 毛保费的确定：先确定费用负荷保费-再根据市场竞 争情况、投保人的需求状况、保险人的利润
目标， 确定风险附加和利润部分-测试、修正。 净保费的计算依据：给定利率（据保险人的投资收
益来定）、死亡概率（生命表）。 费用负荷保费的计算依据：利率、生命表、公司的 费用数据。 新概念：完全连续险种；完全离散险种；半连续险
;
(3)
Ax 1 P ( Ax ) ; P ( Ax ) . ax 1 Ax
P ( Ax:n | ) Ax:n | ax:n | 1 ax:n | ax:n |
证明: (1)
(2)
1 . ax:n |
P ( Ax:n | )
Ax:n | ax:n |
x x x
2

2
/ . 2
2
例8.4.4 在x岁投保的保额为1元的完全连续终身寿 险, 保费按年均衡净保费来缴纳.保险人的签单损失 T Var (v ) 量L满足
第三部分 净保费与费用负荷理论 本部分：第八章-净保费 第九章-费用负荷
保费的组成特点：保险合同规定的投保人的义务； 毛保费=净保费+附加保费； 净保费-指保险人在不考虑保险费用、风险因素及 利润目标的情况下所收取的被保险人的风险成本， 即保险人用于对受益人给付保险金所需要收取的 额度。 附加保费=毛保费-净保费=保险业务费（签单费、 理赔费）+风险附加+利润。 费用负荷保费=净保费+保险业务费， 是保险
dAx:n | 1 d, P ; x:n | ax:n | 1 Ax:n |
dAx 1 P d, P . x x ax 1 Ax
(1 Axn ). 例8.5.2 证明: P x:n | n P x P 1 1 证: Ax:n | Ax:1 n | Ax:n | Ax:n | Ax n| Ax
Var ( L)
0.36.
已知ax 10,计算年均衡净保费 P( Ax ).
解: 为求年均衡净保费,先求终身寿险的精算现值.
Var ( L) Var (v
T ( x)
1 2 )( ) Var (vT ( x ) )(1 Ax ) 2 , ax
Var (vT ) (1 Ax ) 2 0.36, Ax 0.4 Var ( L ) Ax 0.4 P ( Ax ) 0.04. ax 10
a x:h | ax .
;
P ( n| a x )
n|
a x:n |
统一形式: 净保费=
保险人给付额的精算现值 . 保费缴纳期对应的生存年金 两点特别说明: 1.对缴费期为h年的终身寿险的年 均衡净保费而言, 投保人h年后不需要再缴纳保费. 2. 连续生存年金与本节的死亡时刻给付的寿险有 共同点, 所以本节给出了延期n年连续生存年金的 净保费的计算公式, 该险种保费最多缴纳n年, 在 n年后投保人不需要再缴纳保费,而被保险人可以 连续领取生存年金. 例 8.4.1 已知常数死亡力, 计算终身寿险年均衡净 保费. （参考例4.4.1、例5.3.3）
e 1 e Ax dt 0 100 10 50 Ax 5(元)
100
0.10t
10
0.1.
8.4 完全连续险种 8.4.1 基本模型 (x), n年期寿险, 死亡保险金1元. 年均衡净保费
记为 P( A
1 x:n|
)
投保人停缴时刻: T(x)^n ; 未来缴纳净保费的现值: 保险人未来给付的现值:
A1 x:n | a x:h |
;
n年期生存保险:
Px:1 n|
Ax:1 n| a x:n |
;
n|
延期n年终身生存年金: P( n| ax ) 例8.5.1 已知
ax
ax:n |
.
利率i=0.06.计算年均衡精保费 P x.
k 1 q c (0.96) , k 1, 2, k| x
费不同, 则未来的损失也不相同. 本节只讨论由平衡准则确定的净保费的情况. (注意: 本章习题中有涉及非净保费的情况, 请同 净保费区别对待!) 结论8.4.2 假设保险金额为1元(即单位保额), 保 费按年均衡净保费来缴纳.
(1)在x岁签单的n年期生死合险 , 保险人的签单损失 2 2 A ( A ) 量L的方差为 x:n | x: ) 1) n|
签单损失量
Lv
K ( x ) 1
I{T ( x)n} P a
1 x:n | ( K ( x ) 1) n|
.
由E(L)=0, 推出
1 1 A1 P a 0, P x:n | x:n | x:n | x:n |
A1 x:n | ax:n |
A30:10| 0.6, A30:1 0.47, d 0.05, 10|
计算年均衡净保费. 解: 根据平衡准则:
Pa30:10| A
1 30:10|
(10P) A
1 30:10|
.
等式左端项表示缴纳保费(可看作年金的一种)的精 算现值,等式右端项表示保险人给付的精算现值(死亡 给付+生存给付(题中条件)). 所以,
1 x:n |
两边同除以 ax:n | , 即得所证. 例8.5.3 x岁签单, 完全离散10年期寿险, 保额为1
A
1 x:n |
Ax A Ax n Ax A (1 Ax n ),
1 x:n | 1 x:n |
元. 如果被保险人活过了10年, 则保险人在第10 年末返还其所缴纳的全部保费(不计利息).已知,
P( A
1 x:n |
)aT ( x )n| ;
v
T ( x)
I{T ( x)n} ;
故签单损失量:
Lv
T ( x)
I{T ( x)n} P ( A )aT ( x )n| .
1 x ;n |
由E(L)=0可推出:
P( A
1 x:n |
)
A
1 x:n |
其他险种对应的年均衡净保费的表示法及计算公 式: 1.终身寿险: A
x

Ax:n | (1 Ax:n | ) /

Ax:n |
1 Ax:n |
.
例8.4.2 已知在每一年龄年UDD假设成立, i=0.05, ax =1.68. 计算 P ( A ).
8.4.3 结论8.4.1 (1)的金融含义; 8.4.4 结论8.4.1 (2)的金融含义.
8.4.5 签单损失量的方差 签单损失量与签单时的保费有关, 保险人收取保
8.2 平衡准则的概率基础
大数定律: 设有n个同质(未来死亡概率相同)的被保 险人, 相互独立. 他们投保同一险种, 保险金额相同. 在签单时, 保险公司对n个个体的未来给付现金流的 现值分别记为 X1 , , X n , 则X1, , X n 独立的具有相同(生存)分布的随机变量列. 当保单数 目充分多时, 由概率论中的大数定律,有
, c 0.04 / 0.96,
Ax 解: 由于 Px , 应先求Ax , 再利用 dax Ax 1 ax
求出 x代入上式.P x=0.038. 计算公式: 结论8.5.1 (1)年期生死合险的年均衡净保费与年 金及生死合险的精算现值的关系如下:
a
P x:n |
(2)终身寿险的年均衡净保费与年金及终身寿险的精 算现值的关系如下:
T ( x )n
1 vT ( x ) n

P ( Ax:n | )
(1
P ( Ax:n | )

)
P ( Ax:n | )

,
所以
Var ( L) Var (v Var (v
T ( x )n
T ( x )n
)(1
P ( Ax:n | )

2
) Var (v
2
T ( x )n
)(1
Ax:n |
ax:n |
)2
1 2 )( ) ax:n |
Ax:n | ( Ax:n | )2 ( ax:n | )
2
.
例8.4.3在x岁投保的保额为1元的完全连续终身寿 险, 保费按年均衡净保费来缴纳.保险人的签单损失 量记为L. 在常数死亡力假设下, 计算var(L). 解: Var ( L) ( 2 A ( A ) 2 ) /( a ) 2
ax:n |
.
P ( Ax )
x
ax
.
2. n年期生死合险:
P ( Ax:n | )
Ax:n | ax:n |
.
3. 缴费期为h年的终身寿险:
Ax ; h P ( Ax ) ax:h |
1 P ( A h x:n | ) 1 Ax :n |
4.缴费期为h年的n年期寿险:
5.延期n年的终身生存年金:
8.4.2 其他计算公式 结论8.4.1 (1) n年期生死合险的年均衡净保费与n年 期连续生存年金的精算现值间有如下关系:
P( A
1 x:n
1 ) ; ax:n |
(2)n年期两全保险的年均衡净保费与n年期两全保险 的精算现值间有如下关系:
P ( Ax ;n | )