1 3 的极值. 例1 求函数 f (x) = x − 4x + 4的极值 3 解: 1 3 ′(x) = x2 − 4. 因为 f (x) = x − 4x + 4, 所以 f 3 令 f ′(x) = 0, 解得 x = 2, 或 x = −2. 当 f ′(x) > 0 , 即 x > 2 , 或 x < −2 ; 当 f ′(x) < 0 , 即 − 2 < x < 2 .
导数为0的点不一定是极值点 • 2．导数为 的点不一定是极值点 导数为 的点不一定是极值点．
练习1 练习
下图是导函数 y 的图象, y = f ′(x) 的图象 试找出函数 y = f (x) 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点. 的极值点 并指出哪些是极大值点 哪些是极小值点
y = f ′(x)
+
求导—求极点 列表 求导 求极点—列表 求极值 求极点 列表—求极值
x0
练习2 练习
求下列函数的极值: 求下列函数的极值
(1) f (x) = 6x − x − 2; (2) f (x) = x − 27x; 3 3 (3) f (x) = 6 +12x − x ; (4) f (x) = 3x − x . 解: 1 列表: (1) f ′(x) =12x −1, 令 f ′(x) = 0, 解得 x = . 列表 12
2 3
x
f ′(x)
f (x)
1 (−∞, ) 12
–
1 12 0
1 ( ,+∞) 12 +
单调递减
49 − 24
单调递增
1 49 1 所以, 所以 当 x = 时, f (x)有极小值 f
f ′( x) <0 a
f ′(x) >0
o b 极小值点
x y-=f(x)
f ’(a)=0
二、讲授新课-----了解概念 讲授新课-----了解概念 ----什么是极小值点、极小值、 什么是极小值点、极小值、 极大值点、极大值、极值点、极值？ 极大值点、极大值、极值点、极值？
x f ’(x) <a =a 0 >a +
3.3.2函数的极 函数的极 值与导数
高二数学 选修1-1
第三章
导数及其应用
一、复习导入------复习旧课 复习导入 复习旧课
1. 求出函数 f (x) = x + 3x 有没搞错，的单调区间 − 24x − 20 有没搞错，
3 2
怎么这里没有填上？ 怎么这里没有填上 f ′( x ) = 3 x 2 + 6 x − 24 = 3( x + 4)( x − 2)？ 解
你记住 令 f ′( x ) = 0， 得临界点x1 = −4, x2 = 2 了吗？
(-∞，-4) ， -4 0 (-4，2) ， 2 0 (2，+∞) ，
区间 f ’(x) f(x)
+
-
+
f(x)在(-∞，-4)、 (2，＋ x<-4或x>2 ， 在 ，＋∞)内单调递增 内单调递增， f ’(x)>0 ， 、 ，＋ 内单调递增 (x+4)(x-2)>0 或 f(x)在(-4，2)内单调递减-4<x<2 内单调递减。 在 f ’(x)<0 ， 内单调递减。 (x+4)(x-2)<0 求导数—求临界点 列表—写出单调性 求临界点—列表 求导数 求临界点 列表 写出单调性
∆x > 0
f ′(a +∆x) < 0
f (x) 在点x0附近有
定义, 定义 如果对x0附近 的所有的点, 的所有的点 都有
f ′(b − ∆x) < 0
-2 -1 1 2 3
f ′(b + ∆x) > 0 f ′(b) = 0
4
f (x) < f (x0 )
我们就说 f (x0)是 f (x) 是
例题4图像
y f(x)=1/3 x3-4x+4 + 28/3
-2 -4/3
o
2 + x
1 解：f(x)= + x, 所以x ≠ 0 x 1 x2 − 1 f '( x) = − 2 + 1 = 2 ， f '( x) = 0时，x = ±1 x x 当x变化时，f'(x),f(x)变化如下表
1 y= +x x
x
5
O
a
b
的一个极大值 的一个极大值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极大值点 极大值 的极大值点. 反之, 反之 若 的一个极 f (x) > f (x0 ) , 则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极
小值, 小值 点x0叫做函数 y = f (x)的极小值点 的极小值点. 极小值点、极大值点统称为极值点 极值点, 极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值 统称为极值. 统称为极值. 极值
当 x 变化时 f (x) 的变化情况如下表 变化时, 的变化情况如下表:
x
f ′(x)
(–∞, –2)
–2
(–2, 2) –
2 0
( 2, +∞)
+
0
+
f (x) 单调递增
28/ 3 单调递减
− 4/ 3 单调递增
所以, 所以 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ; 有极大值 当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 . 有极小值
• (4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个 函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大 值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大 值．(如图(1))
• (5)若函数f(x)在[a，b]上有极值，它的极值点的 分布是有规律的(如图(2)所示)，相邻两个极大值 点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小 值点之间必有一个极大值点．
一、复习导入------导入新课 复习导入 导入新课
还记得高台跳水的例子吗？ 还记得高台跳水的例子吗？ h 最高点 h(t)=-4.9t2+6.5t+10
o
a
t
一、复习导入----------导入新课
2.跳水运动员在最高处附近的情况： 跳水运动员在最高处附近的情况： 跳水运动员在最高处附近的情况
h ’(a)＝0 ＝ 单调递减 h ’(t)<0
o a
＋ t<a
－ t=a
t>a
一、复习导入------导入新课 复习导入 导入新课
3.(1) 如图，y=f(x)在c、d等点的函 如图， 在 、 等点的函 数值与这些点附近的函数值有什么 关系？导数值呢？导数符号呢？ 关系？导数值呢？导数符号呢？ y
探究
cd
e
f o g
h
I
j
x
一、复习导入------导入新课 复习导入 导入新课
3.(2) 如图，y=f(x)在a、b点的函数值 如图， 在 、 点的函数值 与这些点附近的函数值有什么关系？ 与这些点附近的函数值有什么关系？ 导数值呢？导数符号呢？ 导数值呢？导数符号呢？ f ’(b)=0 极大点 y f ′( x) >0 f ′( x)<0
小结
极大值点和极小值点 极大值和极小值 单调 单调 统称为极值点 f(x) 极小值 统称为极值递增 递减
x <b + 单调 递增 =b 0 极大值 >b -
f(b) y
a o b
f ’(x) f(x)
x y=f(x)
单调 f(a) 递减
定义
一般地, 一般地 设函数
y
f ′(a) = 0
f ′(a −∆x) > 0
在(2)当t<a时f(x)先增后减，h ’(x)先正后负， (1)当t=a时运动员距水面高度最大 t=a附近时运动员距水面高度最大 先增后减， 先正后负， 当 时运动员距水面高度最大， 先正后负 的单调性是怎样的呢？ 当 ， h(t)的单调性是怎样的呢 时 先增后减 的单调性是怎样的呢 导数的符号有什么变化规律？ ？ 导数的符号有什么变化规律？ ，？ 对于一般函数是否也有同样的性质吗？ 对于一般函数是否也有同样的性质吗
f ′(x2)=0 f ′(x3)=0
f ′(x1)=0
x2 = 0是极值点吗？ x b x x3
结论:极值点处，如果有切线， 结论 极值点处，如果有切线，切线水平的.即: f ′(x)=0 极值点处 思考;若 是否为极值点？ 思考 若 f ′(x )=0，则x0是否为极值点？ ，
0
思考
若寻找可导函数 极值点 若寻找 可导函数极值点 可导函数 极值点, 可否只由f 可否只由 ′(x)=0求得即可? 0求得即可? 探索: 是否为函数f(x)=x3 探索 x =0是否为函数 是否为函数 的极值点? 的极值点
不是该函数的极值点.
y f (x)=x3 )
O
x
f′ f′(x)=3x2 当f′(x)=0时，x =0，而x =0 f′
f′(x0) =0 x0 是可导函数 是可导函数f(x)的极值点 的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数 是函数f(x)的极值点 的极值点
f′(x0) =0
注意： 注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 是函数取得极值的必要不充分条件
导函数的正负是 交替出现的吗？
不是
x
f '( x)
X<-1
+
-1 0
极大值
(-1,0) （0，1） ， ） -
1 0
极小值
X>1 +
f ( x)
所以， 所以，当x=-1是，函数的极大值是 ，当x=1时，函数的 是 函数的极大值是-2， 时 极小值是2 极小值是