教 A 版
∴a＝2，b＝0.
数 学
第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
第三章 导数及其应用
[例4] 已知函数f(x)＝ax4lnx＋bx4－c(x>0)在x＝1处取
得极值－3－c，其中a、b、c为常数．
(1)试确定a，b的值；
(2)若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值 人
教 A
版
根，再检查y′在方程根左右的值的符号．如果左正右负， 数 学
那么y在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y在这
个根处取得极小值．
第三章 导数及其应用
[解析] y′＝9x2－1，令 y′＝0，
解得 x1＝13，x2＝－13.
当 x 变化时，y′和 y 的变化情况如下表：
人 教
A
版
数
学
第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
第三章 导数及其应用
本节重点：利用导数的知识求函数的极值． 本节难点：函数的极值与导数的关系． 利用函数的导数求极值时，首先要确定函数的定义域；
人
其次，为了清楚起见，可用导数为零的点，将函数的定义 教 A 版
域分成若干小开区间，并列成表格，判断导函数在各个小 数 学
开区间的符号． 求函数的最大值和最小值，需要先确定函数的极大值
教
范围．
A 版
数
[ 解 析 ] (1) 由 题 意 知 f′(x) ＝ 4ax3lnx ＋ ax4·1x ＋ 4bx3 ＝ 学
x3(4alnx＋a＋4b)．
所以ff(′1)(＝1)－ ＝30－ ，c， 所以ab＋ ＝4－b＝ 3，0， 所以 a＝12，b＝－3.
第三章 导数及其应用
(2)由(1)知 f′(x)＝48x3lnx(x>0)．
区间上所有函数值中的最大的值，最小值是所有函数值中
的最小的值；极值只能在区间内取得；但最值可以在端点
处取得；极值有可能成为最值．
第三章 导数及其应用
5．若连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极
人
大值就是最大值，极小值就是最小值．
教
A
版
数
学
第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
第三章 导数及其应用
人
教
当 x<－1 或 x>1 时，f′(x)>0；当－1<x<1 时，f′(x)<0，
A 版
数
学
∴函数 f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－
1,1)上为减函数．
∴当 x＝－1 时，函数取得极大值 f(－1)＝1；当 x＝1 时，
函数取得极小值 f(1)＝－1.
第三章 导数及其应用
1．已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x.对于包含x0在 内的开区间内的所有点x，如果都有 f(x)≤f(x0) ，则称函
数f(x)在点x0处取得 极大值 ，并把x0称为函数f(x)的一个
人 教
极大值点 ；如果都有
f(x)≥f(x0)
，则称函数f(x)在
A 版
数
点x0处取得 极小值 ，并把x0称为函数f(x)的一个
因此，当 x＝－13时，y 有极大值，并且 y 极大值＝191.
而当 x＝13时，y 有极小值，并且 y 极小值＝79.
人
教
A
版
[点评] 熟记极值的定义是做好本题的关键，要利用
数 学
求函数极值的一般步骤求解．
第三章 导数及其应用
函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有 A．极大值为5，极小值为－27 B．极大值为5，极小值为－11 C．极大值为5，无极小值 D．极大值为－27，无极小值 [答案] C
函数的极值、最值常与单调性，不等式结合出解答题，
人
是历年考试的重点，一般分为二至三问，要注意它们之间
教 A
版
的内在联系，另外解此类问题要注意极值，最值的注意事 数
学
项．
第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
第三章 导数及其应用
[例5] 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，
函数在区间[a，b]上连续是f(x)在[a，b]上存在最大值
的充分而非必要条件．
第三章 导数及其应用
求 函 数 f(x) ＝ x4 － 8x2 ＋ 2 在 [ － 1,3] 上 的 最 大 值 与 最 小
值．
人
教
[解析] f′(x)＝4x3－16x＝4x(x－2)(x＋2)．
A 版
数
令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝0，x3＝2.
第三章 导数及其应用
(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在
其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极
小值可能大于另一点的极大值．(如图(1))
人
教
A
版
数
学
第三章 导数及其应用
(5)若函数f(x)在[a，b]上有极值，它的极值点的分布是
有规律的(如图(2)所示)，相邻两个极大值点之间必有一个
人
在区间(0,1)连续，但没有最大值和最小值(如图)．
教 A
版
数
学
第三章 导数及其应用
(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间 断点，也不能保证 f(x)有最大值和最小值，如函数 f(x)＝
|x|，－1≤x≤1且x≠0，
1，x＝0.
人 教 A
版
在[－1,1]上有间断点，没有最小值(如图)．
教 A
版
x12＝a(x1＋x2)＋2b.
数 学
又 x1＋x2＝－2ab，代入上式，
得 x22－x21＝a－2ab＋2b＝0， ∴x22－x21＝0，即(x2－x1)(x2＋x1)＝0.
第三章 导数及其应用
而x1<x2，∴x1＋x2＝0.∴b＝0.
代入①式，得a(x2－1)＝0.
人
∵a>0，∴x＝±1.再代入f(x1)或f(x2)，得a＝2.
[点评] 若函数f(x)在x0处取得极值，则一定有f′(x0)＝0， 人
因此我们可根据极值得到一个方程，来解决参数．
教 A
版
数
学
第三章 导数及其应用
设 a>0，(1)证明 f(x)＝a1x＋＋xb2取得极大值和极小值的点各
有 1 个；
人 教
A
(2)当极大值为 1，极小值为－1 时，求 a 和 b 的值．
人 教
A
(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说
版 数
学
明理由．
[解析] (1)由f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－
2b＋c＝0. 又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
∴a＝12，b＝0，c＝－32.
第三章 导数及其应用
(2)f(x)＝12x3－32x，
∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)．
和极小值，极值是一个局部概念并且不唯一，极大值与极 小值之间无确定的大小关系．
第三章 导数及其应用
f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0取得极值的必要条件，
不是充分条件．例如：函数f(x)＝x3，f′(0)＝0但x＝0不是
人
f(x)＝x3的极值点．
教 A
版
数
学
第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
版 数
学
[解析]
(1)
证
明
：
f′(x)
＝
a(1＋x2)－2x(ax＋b) (1＋x2)2
＝
－a(x12－＋2x2b)x2＋a，
令 f′(x)＝0，即 ax2＋2bx－a＝0.①
第三章 导数及其应用
∵Δ＝4b2＋4a2>0，∴方程①有两个不相等的实根，记
为 x1、x2.
不妨设 x1<x2，则有 f′(x)＝－a(x12－＋2x2b)x2＋a＝0，
极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值
人
教
点．
A
版
数
2．导数为0的点不一定是极值点．
学
3．正确理解“在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)必有
最值．”
此性质包括两个条件：
第三章 导数及其应用
(1)给定的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连续
但不能保证有最大值或最小值．如 f(x)＝1x，x∈(0,1)，f(x)
第三章 导数及其应用
1．理解极值概念时需注意的几点
(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的
左右两侧附近的点而言的．
人
教
A
(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点
版 数
绝不是函数的极值点．
学
(3)若f(x)在[a，b]内有极值，那么f(x)在[a，b]内绝不是
单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值．
数 学
第三章 导数及其应用
4．正确区分极值和最值
(1)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的，
函数的最大值和最小值可以在极值点、不可导点、区间的
人
端点取得，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的， 教 A
版
最值具有绝对性，极值具有相对性．
数
学
(2)函数的最值是一个整体性概念，最大值必须是整个
学
极小值点 ．极大值与极小值统称为 极值 ，极大值
点与极小值点统称为 极值点 ．
第三章 导数及其应用
2．假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条
连续不断的曲线，该函数在[a，b]上一定能够取得
最大值 与 最小值 ，该函数在(a，b)内是 可导的 ， 人