2.5.1 两个重要极限（第一课时）
——新浪微博：月牙 LHZ
一、教学目标
1. 复习该章的重点内容。
2. 理解重要极限公式。
3. 运用重要极限公式求解函数的极限。
二、教学重点和难点 重点：公式的熟记与理解。
难点：多种变形的应用。
三、教学过程 1、复习导入
（1）极限存在性定理： lim f (x ) = A ⇔ x → x
lim x → x 0+
f (x ) =
lim x → x 0-
f (x ) = A
（ 2） 无 穷 大 量 与 无 穷 小 量 互 为 倒 数 ， 若 f (x ) → ∞（x → x 0）， 则
1
f (x )
→ （0 x → x 0）
（3） 极限的四则运算：
lim [ f (x ) ± g (x )] = lim f (x ) ± lim g (x ) lim [ f (x ) ⋅ g (x )] = lim f (x ) ⋅ lim g (x ) lim
f (x ) =
lim f (x )
(lim g (x ) ≠ 0)
g (x ) lim g (x )
（4） lim [cf (x )] = c lim f (x ) （加法推论）
（5） lim [ f (x )]k = [lim f (x )]k （乘法推论）
（6） lim [无穷小量⨯ 有界变量] = 0 （无穷小量的性质）
eg: lim
sin x = lim
⎛ 1 ⋅ sin x ⎫
= 0
x →∞
x
⎪ x →∞⎝ x ⎭
lim ⎪
=
lim ⎪
⋅ 那么， lim
sin x = ？呢，这是我们本节课要学的重要极限
x →0
x
2、掌握重要极限公式
lim sin x
= 1 x →0 x 公式的特征：（1） 0 型极限；
（2） 分子是正弦函数；
（3） sin 后面的变量与分母的变量相同。
3、典型例题 【例 1】 求
lim
sin x
(k ≠ 0)
x →0 kx
解： lim sin x = 1 lim sin x = 1 ⨯1 = 1
x →0 kx
k x →0 x k k 【例 2】 求 lim tan x
x →0 x
解： lim tan x = ⎛
sin x 1 ⎫ = lim sin x ⋅ lim 1
= 1⨯1 = 1 x →0 x x →0 ⎝ x
cos x ⎭ x →0 x x →0 cos x （推导公式： lim tan x
= 1 ）
x →0 x
【例 3】 求 lim sin 5x
x →0 x
解： lim sin 5x = lim 5 ⋅ sin 5x = 5 ⋅ lim sin 5x
= 5 ⋅1 = 5
x →0 x x →0 5x
x →0 5x 4、强化练习
（1） lim
sin x
（2） lim
sin kx
(k ≠ 0)（3） lim
sin 5x
(4)
lim tan 2x
x →0
3x x →0 x
x →0 3x x →0 x
解：（1） lim sin x = 1 lim sin x = 1 ⨯1 = 1
x →0 3x
3 x →0 x 3 3 （2） lim sin kx = lim k ⋅ sin kx = k ⋅ lim sin kx
= k ⋅1 = k
x →0 x x →0 kx x →0 kx （3） lim sin 5x = ⎛ sin 5x 5 ⎫ lim ⎪ 5 ⋅ l im sin 5x = 5 ⋅1 = 5 x →0 3x x →0 ⎝ 5x 3 ⎭ 3 x →0 5x
3 3 （4） lim tan 2x = ⎛ sin 2x 1 ⎫ = 2 ⋅ lim sin 2x ⋅ lim 1
= 2 ⨯1⨯1 = 1 x →0
x
x →0
⎝ x
cos 2x ⎭
x →0
2x
x →0
cos 2x
四、小结:
本节课我们学习了一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的极限。
在运用这个公式时，要注意两点：一是分子中的三角函数转换为正弦函数，二是分子 sin 后面的变量与分母的变量相同。
五、布置作业:
（1）lim sin x （2）lim sin 3x（3）lim sin 5x(4) lim tan 3x
x→0 5x x→0 x x→0 2x x→0 x
2.5.2 两个重要极限（第二课时）
————新浪微博：月牙 LHZ
一、教学目标
1. 理解重要极限公式。
2. 运用重要极限公式求解函数的极限。
二、教学重点和难点 重点：公式的熟记与理解。
难点：多种变形的应用。
三、教学过程 1、复习导入：
本节课我们学习一个重要的极限公式。
首先我们一起复习一下指数运算。
(1) (a b )n = a n b n
(2)
(3) a n +m = a n ⋅ a m
a nm = (a n )
m
2、掌握重要极限公式
lim(1 + 1
) x = e x →∞ x
3、典型例题 【例 1】 lim(1 + 2
) x
x →∞
x
2 1 x 1 x
解： lim(1 + x →∞ ) x = lim[(1 + x
x →∞ ) 2 ]2 = [lim(1 + x x →∞ 2
) 2 ]2 = e 2 （构造法）
x 2
1
【例 2】lim(1 + x ) x
x →0
1 z ⎛ 2
x x 1 z = 1
解： lim(1 + x ) x
x = lim(1 + )
= e （换元法） x →0
z →∞
z
1 （推导公式： lim(1 + x ) x
x →0
= e ）
【例 3】 lim(1 - 1
) x
x →∞
x 解： lim(1 - 1 ) x = lim[(1 + 1 )-x ]-1 = [lim(1 + 1 )-x ]-1 = e -1 = 1
（构造法）
x →∞
【例 4】 x lim(
x →∞ x →∞ - x x ) x x + 1 x →∞ - x e
解： lim( x ) x = lim( 1 ) x = lim
1 = 1
（构造法） x →∞ x + 1 x →∞ 1 + 1
x →∞ ⎛ 1 ⎫ x e 1 + ⎪ x ⎝ ⎭
4、强化练习
（1） lim(1 + 5 ) x （2） lim(1 + x ) x （3） lim(1 - 2) x (4) lim(
2x
) x
x →∞
x
5 x →0
1 x x →∞
x
1 x x →∞ x + 1
解：（1） lim(1 + x →∞ ) x = lim[(1 + x
x →∞ ) 5 ]5 = [lim(1
+ x x →∞ 5 ) 5 ]5 = e 5 x 5
2
⎡ 1 ⎤ 2 ⎡ 1 ⎤ 2 ⎡ 1 ⎤ 2
（2） lim(1 + x ) x = lim ⎢(1 + x ) x ⎥ = ⎢lim(1 + x ) x ⎥ = ⎢lim(1 + ) z ⎥ = e 2
x →0
2 x →0 ⎣ ⎦ 1 - x ⎣
x →0 ⎦ ⎣z →∞ z ⎦ 1 - x 1 (3) lim(1
- x →∞ ) x = lim[(1 + ) x
x →∞ - x 2 2
]-2 = [lim(1 + ) x →∞ - x 2
2 ]-2 = e -2 = e 2
(4)
lim( x + 2) x
= lim(
1 + 2
x ) x
lim 1 + = x →∞⎝ 2 ⎫ x
⎪ ⎭
lim[(1 + x →∞ = 1
) 2 ]2
x 2
[lim(1 + x →∞ = 1
) 2 ]2
x 2
= e 2
= x →∞ x + 1 x →∞ 1 + 1
⎛ 1 ⎫ x
e e e lim 1 + ⎪
x x →∞⎝ ⎭
四、小结:
本节课我们学习了另一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的极限。
学会巧妙地运用换元法和构造法把它转化为公式的形式，从
x x e
x
1
而求得极限。
五、布置作业:
（1） lim(1 + 3 ) x （2） lim(1 + 2x ) x （3） lim(1 - 1 )2 x (4)
lim( x + 3) x
x →∞
x
x →0 x →∞
x
x →∞
x + 1。