定义1：设有数列 ，如果对任何正整数 ，恒有 ，则 为单调增加数列；
定义2：如果对任何正整数 ，恒有 ，则 为单调减少数列。
定义3：如果存在两个常数 和 ，使对任何正整数 ，恒有 ，则 为有界数列。
准则II单调有界数列必有极限
例如， ： 可看出， 单调减少，且 ，所以， 存在， 。
二、第二个重要极限
互动
引导学生从图中观察特点
对重要极限理解的注意事项
通过例子加深对重要极限变形理解
通过练习巩固对第一个重要极限的掌握
理解单调数列的概念
掌握第二个重要极限
Ｂｅａｄｗｒｋｓ公司还组织各国的“芝自制饰品店”定期进行作品交流，体现东方女性聪慧的作品曾在其他国家大受欢迎；同样，自各国作品也曾无数次启发过中国姑娘们的灵感，这里更是创作的源泉。
问题：如何求 ？
准则1（夹逼定理）设函数 在 的某一邻域 内满足
且有极限 ，则有
例1求
解由题意，当 时， ，因为 ，由定理得
例2.求
解由题意 ，因为 ，
由定理得， ，即 。
例3求
解
即
因
所以由定理得 。
。
一、第一个重要极限
．
证如右图，作单位圆O,
设圆心角 ,
过点A作圆O的切线，交0B延长线于点C，
过点B作 ，交OA于点D，于是，得 ，
高等数学课程教案
授课题目
§2.6两个重要极限
主讲人
刘艳
授课时间
2013年11月9日
课时安排
两课时
教学目的：
（1）掌握两个重要极限公式的特点及其变形式，并能运用其求某些函数的极限；
（2）通过对重要极限公式的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，同时激发学生的学习兴趣。
教学重点、难点
重点：两个重要极限公式及其变形式
难点：两个重要极限的灵活应用
授课类型：理论课
教学方式：讲授
教学手段：多媒体及板书结合
教学过程
备注
回顾：
说出函数极限的四则运算法则。
新课：
一、问题的提出
“ 型”极限的计算方法，到目前为止，我们学过因式分解去零因子，有理化分子或分母这两种方法。是不是所有的“ 型”都可以用这两种方法解决呢？
500元以上1224%
在大学生对DIY手工艺品价位调查中，发现有46%的女生认为在十元以下的价位是可以接受；48%的认为在10-15元；6%的则认为50-100元能接受。如图1-2所示
2．www。cer。net/artide/2003082213089728。shtml。
就算你买手工艺品来送给朋友也是一份意义非凡的绝佳礼品哦。而这一份礼物于在工艺品店买的现成的礼品相比，就有价值意义，虽然它的成本比较低但它毕竟它是你花心血花时间去完成的。就像现在最流行的针织围巾，为何会如此深得人心，更有人称它为温暖牌绝大部分多是因为这个原因哦。而且还可以锻炼你的动手能力，不仅实用还有很大的装饰功用哦。
（2）
证明下证这个极限是存在的。
设 。先证明 是单调增加的。根据二项式定理，有
同理有
比较上面两个展开式的各项，除前两项相等外，从第三项开始， 的每一项都大于 的对应项，而且 还多出一个正的尾项。因而
即 单调增加.
再证明 是有界的：
因为 ，所以用 代替上式分母中的 ，得
由此可见，不论 多么大， 总小于3，即 有上界.
因此，极限 一定存在。这个极限是个无理数，用字母 表示，即
注：（1）类型： 型
（2）等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形式
（3）推广形式： .
例1求
解
例2求
解
例3求
解
例4计算
解 ＝
＝
练习：（1） （2）
小结：
理解两个准则：夹逼准则、单调有界准则
熟练掌握两个重要极限： ， 及其变形
教师引导，学生回忆口述
提出问题，引发学生兴趣
无穷多项无穷小量的和
（六）DIY手工艺品的“创作交流性”
2、消费者分析
PS:消费者分析
经常光顾□偶尔会去□不会去□
图1-4大学生购买手工艺制品目的
通过例题加深对第二个重要极限的掌握
总结本堂课内容
三、作业：P93习题二(A ) .23（1）（3）（5）（7）24（1）（3）（5）
作业设计
因为△AOB的面积<圆扇形AOB的面积<△AOC的面积，
所以 (过程中注意互动，提问扇形面积的计算)
即
由偶函数性质， 时也成立。
又 ， ，
由夹逼准则，即得
注意：(1)这个重要极限主要解决含有三角函数、反三角函数的“ 型”的极限。
(2)为了强调此极限的一般形式,我们把它形象地写成 ，等式中的“[]”内的变量必须完全相同且趋于 。
例1求
解
例2求
解
例3求
解
例4求
解令 ,则 ,当 时,有 .于是由复合函数的极限运算法则得
例5求
解令 .当 时， .
例6求
解令 ,则 .当 时， .
例7求
解 .
练习：求下列极限：
① ②
③ ④
小结：
1．正确、灵活地运用公式 。
2．运用换元法时须注意自变量的变化趋势的改变和系数的变化。
3.利用此公式求极限时，一定要注意变量的变化趋势，不能一概而论，造成思维定势，如求 。