【例1】下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）．（2013北京中考）【答案】A【例2】在ABC△中,AB AC=，BACα∠=(︒<<︒600α)，将线段BC绕点B逆时针旋转6０°得到线段BD．(1）如图1，直接写出ABD∠的大小（用含α的式子表示）;（2）如图２,15060BCE ABE∠=︒∠=︒，,判断ABE△的形状并加以证明；(３）在（2）的条件下，连结DE,若45DEC∠=︒,求α的值．（2013北京中考)【答案】(1）302ABDα∠=︒-;(2）ABE△是等边三角形.证明:连结AD CD，,∵60DBC BD BC∠=︒=，，∴BDC△是等边三角形，60BDC BD DC∠=︒=，.又∵AB AC AD AD==，,∴ABD ACD≌△△，∴ADB ADC∠=∠,∴150ADB∠=︒,∵60ABE DBC∠=∠=︒,∴ABD EBC∠=∠，又∵150BD BC ADB ECB=∠=∠=︒，,真题链接共顶点旋转∴ABD EBC ≌△△， ∴AB EB =,∴ABE △是等边三角形．BCEDA（3）∵BDC ∆是等边三角形， ∴60BCD ∠=︒，∴90DCE BCE BCD ∠=∠-∠=︒， 又∵45DEC ∠=︒， ∴CE CD BC ==, ∴15EBC ∠=︒, ∵302EBC ABD α∠=∠=︒-,∴30α=︒．一、旋转的概念和性质【例3】 下图中，不是旋转对称图形的是( ).【答案】B【例4】 有下列四个说法,其中正确说法的个数是( ）.①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度; ③图形旋转时,对应点与旋转中心的距离相等;④图形旋转时,对应线段相等,对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化 A.1个 B ．2个 Ｃ．3个ﻩＤ.4个【答案】D【例5】 如图,若正方形D ＣEF 旋转后能与正方形ABCD 重合,则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有（ ）个．A.1 Ｂ.2ﻩC.3D ．4课堂练习【答案】C【解析】本题很多考生容易做错,将答案选为B ,认为只有两个旋转点,但是一定要注意CD 边的中点也是一个旋转点，所以应该有3个旋转点．【例6】 如图,这是一个正面为黑，反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木,现欲拼满拼木盘并使其颜色一致，请问应选择的拼木是（ ）ﻩA ． Ｂ.ﻩ C ． ﻩD.【答案】B【解析】将所给的拼木分别尝试拼接或由拼木盘观察,直接选出拼木．Ａ、Ｃ和Ｄ旋转之后都不能与图形拼满,B 旋转１80°后可得出与图形相同的形状，故选B.【例7】 已知:如图,若线段C Ｄ是由线段A Ｂ经过旋转变换得到的.求作:旋转中心Ｏ点.【答案】分两类：(1)Ａ与Ｃ是对应点．（2)B 与C 是对应点,对(１)的作法:首先,连结ＡＣ,作线段AC 的垂直平分线l 1；其次，连结BD ,作线段BD 的垂直平分线l 2，与l １交于O 点,则O 点为所求． 同理可作出(２）的O ′选点．【解析】采用旋转的作图方法和旋转的性质进行解题.【例8】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC △顶点的横、纵坐标都是整数．若将ABC △以某点为旋转中心,顺时针旋转90︒得到DEF △，则旋转中心的坐标是（ ）. A.(0,0) Ｂ．(1,0) C.(1,1)- D ．(2.5,0.5)(2０1４西城期末)【答案】C【解析】旋转中心为对应顶点连线的垂直平分线,故选Ｃ．【例9】 实验操作(1)如图1，在平面直角坐标系xOy 中,ABC △的顶点的横、纵坐标都是整数,若将ABC △以点()1,1P -为旋转中心，按顺时针方向旋转90︒得到DEF △，请在坐标系中画出点P 及DEF △;【例10【例11】下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）.A. B. C.ﻩD ．（2０14海淀一模）【答案】A【例12】有五张形状、大小、质地都相同的卡片,上面分别画有下列图形：①正方形;②正三角形；③平行四边形;④等腰梯形；⑤圆.将卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取一张，正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是( )．A．1 5B.25C.35D.45(2０14东城一模）【答案】B【例13】已知：如图,四边形ＡＢCＤ与四边形EFGH成中心对称,试画出它们的对称中心,并简要说明理由.【答案】HGFEDCB【解析】根据中心对称的性质，分别连结CＧ、BＦ,则它们的交点O为两四边形的对称中心．其理由是关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心，而ＣＧ、BF两线段不共线，所以它们的交点即为对称中心．三、共顶点旋转之全等【例14】如图，点C为线段AB上一点,ACM∆、CBN∆是等边三角形,D是AN中点,E是BM中点,求证:CDE∆是等边三角形．M DNEC BA【答案】∵ACN MCB∆∆≌，∴AN BM=，ABM ANC∠=∠又∵D、E分别是AN、BM的中点，∴BCE NCD ∆∆≌，∴CE CD =，BCE NCD ∠=∠∴60DCE NCD NCE BCE NCE NCB ∠=∠+∠=∠+∠=∠= ∴CDE ∆是等边三角形【例15】 在等边ABC △中，AD BC ⊥于点D .(1)如图1，请你直接写出线段AD 与BC 之间的数量关系:AD =_＿_____＿__BC ;（２）如图2，若P 是线段BC 上一个动点(点P 不与点B 、C 重合)，连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60︒,得到线段AE ,连结CE ，猜想线段AD 、CE 、PC 之间的数量关系，并证明你的结论; （3)如图3,若点P 是线段BC 延长线上一个动点，（2)中的其他条件不变，按照(2)中的作法,请在图3中补全图形,并直接写出线段AD 、CE 、PC 之间的数量关系．（20１4大兴一模）【答案】（13. (2)3)AD CE PC =+． 理由如下：∵线段AP 绕点A 逆时针旋转60︒,得到线段AE ， ∴60PAE ∠=︒，AP AE =， ∵等边三角形ABC , ∴60BAC ∠=︒，AB AC =, ∴BAC PAC PAE PAC ∠-∠=∠-∠, ∴BAP CAE ∠=∠， 在ABP △和ACE △中 AB AC BAP CAE AP AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABP ACE ≅△△， ∴BP CE =, ∵BP PC BC +=, ∴CE PC BC +=， ∵3AD =， ∴3)AD CE PC =+．（3)如图,3()AD CE PC =-． 【例16】 已知:等边ABC △中，点D 、E 、F 分别为边AB 、AC 、BC 的中点，点M 在直线BC 上，以点M为旋转中心，将线段MD 顺时针旋转60︒至MD '，连接ED '．(1）如图1，当点M 在点B 侧时，线段ED '与MF 的数量关系是＿______＿_＿；（２)如图2，当点M 在BC 边上时,（1)中的结论是否依然成立?如果成立，请利用图2证明，如果不成立,请说明理由；(3)当点M 在点C 右侧时，请你在图3中画出相应的图形，直接判断(1）中的结论是否依然成立?不必给出证明或说明理由.（20１４通州一模)【答案】（１)ED MF '=;（2)ED '与MF 的相等关系依然成立． 证明：连接DE 、DF 、DD '，∵D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点,∴DE BC ∥，12DE BC =,DF AC ∥，12DF AC =, ∴四边形DFCE 为平行四边形. ∵ABC △是等边三角形, ∴BC AC =，60C ∠=︒， ∴DE DF =，60EDF C ∠=∠=︒. ∵ＭD=MD ',DMD '∠=６０º, ∴DMD '△是等边三角形，∴60MDD '∠=︒，MD DD '=, ∴MDD EDF '∠=∠． ∵MDF MDD FDD ''∠=∠-∠, ∴EDD EDF FDD ''∠=∠-∠， ∴MDF EDD '∠=∠,∴DD E DMF '≅△△(SAS)．∴ED MF'=．D'EDEDA(3)ED'与MF的相等关系依然成立,画出正确图形．【例17】如图1,已知90DAC∠=︒,ABC△是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP,将线段CP绕点C顺时针旋转60︒得到线段CQ,连结QB并延长交直线AD于点E．(1)如图1,猜想=QEP∠_________︒；（2）如图2，3,若当DAC∠是锐角或钝角时，其它条件不变,猜想QEP∠的度数，选取一种情况加以证明;(3）如图3，若135DAC∠=︒,15ACP∠=︒,且4AC=,求BQ的长.（２014东城一模)【答案】（１)60QEP∠=︒.（2)60QEP∠=︒．证明：如图,以DAC∠是锐角为例.∵ABC△是等边三角形,∴AC BC=，60ACB∠=︒．又由题意可知，CP CQ=,60PCQ∠=︒．∴ACP BCQ ∠=∠． ∴ACP BCQ ≅△△． ∴APC Q ∠=∠． 设PC 与BQ 交于点G , ∵12∠=∠，∴60QEP PCQ ∠=∠=︒．（3）由题意可求,30APC ∠=︒,45PCB ∠=︒. 又由(2)可证60QEP ∠=︒.∴可证QE 垂直平分PC ,GBC △为等腰直角三角形． ∵4AC =,∴22GC =，26GQ =． ∴2622BQ =-．【例18】 问题解决如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEF 重合放置,其中90C ∠=︒，30B E ∠=∠=︒． （1）如图2,固定ABC △，将DEC △绕点C 旋转,当点D 恰好落在AB 边上时,设BDC △的面积为1S ，AEC △的面积为2S ,那么1S 与2S 的数量关系是___＿______;（2）当DEC △绕点C 旋转到图3所示的位置时,小明猜想(1）中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC △和AEC △中BC 、CE 边上的高，请你证明小明的猜想．（３)如图4，60ABC ∠=︒,点D 在其角平分线上，6BD CD ==,DE AB ∥交BC 于点E ,若点F 在射线BA 上,并且DCF BDE S S =△△，请直接写出相应的BF 的长.(2０１4通州一模)【答案】(1）相等．ABCDE 图4ABCDEN M图3ACA （D ）B （E ）C D E图1 图2B（2)证明：∵DM 、AN 分别是BDC △和AEC △中BC 、CE 边上的高， ∴90DMC ANC ∠=∠=︒． ∵90DCE ∠=︒， ∴90DCN ∠=︒， ∴90DCB BCN ∠+∠=︒． ∵90ACB ∠=︒， ∴90ACN BCN ∠+∠=︒， ∴DCB ACN ∠=∠. ∵DC AC =,∴DCM ACN ≅△△(AAS)． ∴DM AN =， ∵12BCD BCDM S S ⋅==△,22ACE CE ANS S ⋅==△，且CE BC =, ∴12S S =.(3）23BF =或43BF =．【例19】 将等腰Rt ABC △和等腰Rt ADE △按图1方式放置，90A ∠=︒，AD 边与AB 边重合，24AB AD ==.将ADE △绕点A 逆时针方向旋转一个角度(0180)αα︒≤≤︒,BD 的延长线交直线CE 于点P . （1)如图2，BD 与CE 的数量关系是_＿__＿_____,位置关系是_＿______＿＿; (２）在旋转的过程中，当AD BD ⊥时，求出CP 的长； （3）在此旋转过程中，求点P 运动的路线长．(２01４房山一模)【答案】（1）BD CE =，BD CE ⊥,（2）如图所示,ABCDEN M∵ABC △和ADE △都是等腰三角形, ∴AB AC =，AD AE =, ∵90BAC DAE ∠=∠=︒, ∴BAD CAE ∠=∠, ∴ABD ACE ≅△△． ∴ABD ACE ∠=∠， ∵12∠=∠，∴90CPB CAB ∠=∠=︒， ∴BP CE ⊥．∵AD BP ⊥,90DAE ∠=︒，AD AE =， ∴四边形ADPE 为正方形， ∴2AD PE ==，∵90ADB ∠=︒,2AD =，4AB =， ∴30ABD ∠=︒，∴BD CE ==∴2CP CE PE =-=.(3）如图４,取BC 中点O ，连结OP 、OA . ∵90BPC BAC ∠=∠=︒， ∴2OP OA OB OC ====.在此旋转过程中（0180α︒︒≤≤）， 由（2）知，当60α=︒时，PBA ∠最大,且30PBA ∠=︒,此时60AOP ∠=︒,∴点P 运动的路线是以O 为圆心，OA 长为半径的弧AP 与弧PA 的和.∴点P 运动的路线长为:2l ==．【例20】 如图1，正方形ABCD 与正方形AEFG 的边AB 、AE （AB AE <）在一条直线上,正方形AEFG 以点A 为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中,两个正方形只有点A 重合,其它顶点均不重合，连接BE 、DG ．（1）当正方形AEFG 旋转至如图2所示的位置时,求证：BE DG =； （２）当点C 在直线BE 上时，连接FC ,直接写出FCD ∠的度数；图4（3)如图3，如果45α=︒，2AB =,AE =求点G 到BE 的距离.A BCD E FG图2A BC D E FG图3GFED CBA 图1(2０１4昌平一模）【答案】（1)证明：如图２，∵四边形ABCD 是正方形,∴AB AD =,90BAE EAD ∠+∠=︒． ∵四边形AEFG 是正方形,∴AE AG =,90EAD DAG ∠+∠=︒． ∴BAE DAG ∠=∠．∴(SAS)ABE ADG ≅△△. ∴BE DG =. (２）解:45︒或135︒.图2A BC D E FG图3GFE D CBA H（3）解:如图3，连接GB 、GE ． 由已知45α=︒，可知45BAE ∠=︒． 又∵GE 为正方形AEFG 的对角线, ∴45AEG ∠=︒． ∴AB GE ∥．∵AE =∴8GE =,1==162BEG AEG AEFG S S S =正方形△△．过点B 作BH AE ⊥于点H . ∵2AB =，∴BH AH ==∴HE =∴BE =设点G 到BE 的距离为h .∴111622BEG S BE h h =⋅⋅=⨯=△.∴h =即点G 到BE． 【例21】 四边形ABCD 是正方形，BEF △是等腰直角三角形,90BEF ∠=︒,BE EF =．连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG CG EC ，，． （1）如图1，若点E 在CB 边的延长线上,直接写出EG 与GC 的位置关系及ECGC的值； （2)将图１中的BEF △绕点B 顺时针旋转至图2所示位置,请问（1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程;若不成立,请说明理由.(3）将图1中的BEF △，绕点B 顺时针旋转(090)αα︒<<︒,若1BE =，AB =当E 、F 、D 三点共线时，求DF 的长及tan ABF ∠的值．备用图图2图1ACBDGFEDBCA(2014西城一模)【答案】(1)EG GC ⊥，ECGC= (２）倍长EG 至H ,连接GH 、OH 、CH 、CE ； 在EFG △与HDG △中， GF GD EGF HGD EG HG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴EFG HDG △≌△(SAS ) ∴DH EF BE ==,FEG DHG ∠=∠． ∴//EF OH∴129034∠=∠=︒-∠=∠．∴18041801EBC HDC ∠=︒-∠=︒-∠=∠. 在EBC △与HDC △中BE DH EBC HDC BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ EBC HDC △≌△（SAS ) ∴ CE CH =，BCE DCH ∠=∠∴90ECH DCH ECD BCE ECD BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∴ECH △为等腰Rt △ 又∵G 为EH 的中点 ∴EG GC ⊥,2ECGC=,故（1）中的结论仍然成立;（3)连接BD ,则1BD =，∴1cos 2BE DBE BD ∠== ∴60DBE ∠=︒ ∴15ABE DBE ABD ∠=∠-∠=︒ ∴451530ABF ∠=︒-︒=︒ ∴3tan ABF ∠=; ∴33DE BE == ∴31DF DE EF =-=-【例22】 如图1，已知ABC △是等腰直角三角形,90BAC ∠=︒,点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ,使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接AE ,BG .（1)试猜想线段BG 和AE 的数量关系是__________；(2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转(0360)αα︒<<︒，①判断(1)中的结论是否仍然成立?请利用图2证明你的结论; ②若4BC DE ==,当AE 取最大值时，求AF 的值.（２０14燕山一模)【答案】（1)BG AE =;(2）①成立.以下给出证明： 如图，连接AD ,∵在Rt BAC △中,D 为斜边BC 中点, ∴AD BD =,AD BC ⊥， ∴90ADG GDB ∠+∠=︒. ∵四边形EFGD 为正方形， ∴DE DG =，且90GDE ∠=︒， ∴90ADG ADE ∠+∠=︒， ∴BGD ADE ∠=∠． 在BDG △和ADE △中, BD ADBDG ADE DG DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BDG ADE ≅△△， ∴BG AE =.BACDEGFBA CDE GF②由①可得BG AE =，当BG 取得最大值时，AE 取得最大值． 当旋转角为270︒时，BG AE =,最大值为246+=. 如图,此时AF =.【例23】 如图,在矩形ABCD 中， 点Ｆ在AD 延长线上，且DF = D Ｃ, M 为AB 边上一点, N 为ＭD 的中点， 点E 在直线CF 上(点Ｅ、Ｃ不重合）.且若A Ｂ=BC , 点M 、A 不重合, B Ｎ=NE ，试探究ＢＮ与NE 的位置关系及BMCE的值, 并证明你的结论; MNFEDCB AHGABCD EMNF【答案】如图，延长BN BN 交CD 的延长线于点G ，连结BE 、GE ，过E 作EH ⊥CE ,交CD 于点H ．∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ AB ∥CG ．∴ MBN DGN ∠=∠，BMN GDN ∠=∠ ∵ N 为MD 的中点， ∴ MN DN =． ∴ △BMN ≌△GDN ． ∴ MB DG =,BN GN =. ∵ BN NE =， ∴ BN NE NG ==． ∴ 90BEG ∠=． ∵ EH CE ⊥, ∴ 90CEH ∠=. ∴ BEG GEH ∠=∠． ∴ BEC GEH ∠=∠． ∵45DCF ∠=．∴ 45CHE HCE ∠=∠=． ∴ EC EH =， 135EHG ∠=. ∵135ECD DCB HCE ∠=∠+∠=， ∴ ∠ECB =∠EHG . ∴ △ECB ≌△EHG ． ∴ EB EG =,CB HG =． ∵ BN NG =， ∴ BN ⊥NE ．∵BM DG HG HD BC HD CD HD CH ==-=-=-==∴CE BM =四、共顶点旋转之相似【例24】 如图,在ABC △中，AB AC =，且30BAC ∠=︒,以AB 为腰作等腰直角三角形ABD ,以AC 为斜边作等腰直角三角形ACE ，连接CD BE 、交于点F ,求DFB ∠的度数．F EDCBA【答案】方法一:如图1，平移线段EF 使得E 点与C 点重合,连接DG BG 、、 ∴四边形CGBE 是平行四边形,BG CE AE BD AB ===，，75BAE ∠=︒,3609075GBD ABC GBC ∠=︒-︒-∠-∠=︒,DGB BEA ≌△△,90DGC DGB BGC AEB BEC∠=∠+∠=∠+∠=︒，DG GC=,DGC△为等腰直角三角形45DFB DCG∠=∠=︒.方法二：如图2,利用DAC BAE△∽△相似，过程略图1GFEDCBA图2FEDCBA【例25】在ABC△中，AC BC=，在AED△中，AD ED=,点D、E分别在CA、AB上．（1）如图①,若90ACB ADE∠=∠=︒,则CD与BE的数量关系是＿__＿__＿__;(2)若120ACB ADE∠=∠=︒,将AED△绕点A旋转至如图②所示的位置，则CD与BE的数量关系是＿＿_＿＿＿__＿;(3)若2(090)ACB ADEαα∠=∠=<<︒,将AED△绕点A旋转至如图③所示的位置，探究线段CD与BE 的数量关系，并加以证明（用含α的式子表示）.（2０１4朝阳一模)【答案】（1)2BE CD=．(2）3BE CD=.(3）2sinBE CDα=⋅过点C作CH AB⊥交AB于H.∵CA CB=，DA DE=，2ACB ADEα∠=∠=,∴ACB ADE∽△△∴AD AEAC AB=.又∵CAB DAE∠=∠，∴CAD BAE ∠=∠，∴ADC AEB ∽△△, ∴BE AB CD AC=. ∵CA CB =，AH AB ⊥, ∴AH BH =，ACH BCH α∠=∠=．∴22sin BE AB AHCD AC AC α=== ∴2sin BE CD α=⋅． 【例26】 已知：ABC △，DEF △都是等边三角形,M 是BC 与EF 的中点,连接AD ,BE ．(1)如图1，当EF 与BC 在同一条直线上时，直接写出AD 与BE 的数量关系和位置关系;（2）ABC △固定不动，将图1中的DEF △绕点M 顺时针旋转α(090α︒︒≤≤）角,如图2所示,判断(1)中的结论是否仍然成立，若成立,请加以证明；若不成立,说明理由;(3)ABC △固定不动，将图1中的DEF △绕点M 旋转α（090α︒︒≤≤）角,作DH BC ⊥于点H ．设BH x =，线段AB ,BE ，ED ，DA 所围成的图形面积为S ．当6AB =，2DE =时，求S 关于x 的函数关系式，并写出相应的x 的取值范围.(２01４西城期末)【答案】(1）3ADBE=,AD BE ⊥． （2）证明：连接DM ，AM ． 在等边三角形ABC 中,M 为BC 的中点,∴AM BC ⊥,1302BAM BAC ∠=∠=︒，3AMBM=． ∴90BME EMA ∠+∠=︒.同理,3DMEM =，90AMD EMA ∠+∠=︒. ∴AM DMBM EM =，AMD BME ∠=∠. ∴ADM BEM ∽△△．∴3AD DMBE EM==． 延长BE 交AM 于点G ，交AD 于点K .∴MAD MBE ∠=∠,BGM AGK ∠=∠. ∴90GKA AMB ∠=∠=︒. ∴AD BE ⊥．(3)解:(ⅰ）当DEF △绕点M 顺时针旋转α（090α︒︒≤≤）角时， ∵ADM BEM ∽△△, ∴2()3ADM BEM S AD S BE==△△． ∴13BEM ADM S S =△△∴ABM ADM BEM DEM SS S S S =+--△△△△ 23ABM ADM DEM S S S =+-△△△121133333(3)132322x =⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯ 33x =+.∴33S x =+ （333x +≤≤）.（ⅱ）当DEF △绕点M 逆时针旋转α(090α︒︒≤≤)角时，可证ADM BEM ∽△△， ∴21()3BEM ADM S BM S AM ==△△． ∴13BEM ADM S S =△△.∴ABM BEM ADM DEM S S S S S =+--△△△△ 23ABM ADM DEM S S S =--△△△9213333(3)232x =-⨯⨯-+33x =+．∴33S x =+(333x -≤≤）. 综上,33S x =+（3333x -+≤≤).【例27】 已知：如图,正方形ABCD 的边长为a ,BM ,DN 分别平分正方形的两个外角,且满足45MAN ∠=︒,连结MC ，NC ,MN ．(1）填空：与ABM △相似的三角形是△_＿_____＿__,BM DN ⋅=__＿______＿；（用含a 的代数式表示)（2)求MCN ∠的度数;（3）猜想线段BM ，DN 和MN 之间的等量关系并证明你的结论.（12年西城期末)【答案】解:(1)与ABM △相似的三角形是NDA △，2BM DN a ⋅=；(2)由（1)ABM NDA ∽△△可得BM ABDA ND=.（如图9）． ∵四边形ABCD 是正方形,∴AB DC =,DA BC =，90ABC BCD ADC BAD ∠=∠=∠=∠=︒.∴BM DCBC ND=． ∵BM ,DN 分别平分正方形ABCD 的两个外角, ∴45CBM NDC ∠=∠=︒．∴BCM DNC ∽△△． ∴BCM DNC ∠=∠．360270()270(180)135MCN BCD BCM DCN DNC DCN CDN ∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒.（3）线段BM ,DN 和MN 之间的等量关系是222BM DN MN +=.(只猜想答案不证明不给分) 证法一：如图9,将AND △绕点A 顺时针旋转90︒得到ABF △，连接MF .则ABF ADN ≅△△． ∴13∠=∠，AF AN =,BF DN =，AFB AND ∠=∠. ∴122345MAF BAD MAN ∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=︒. ∴MAF MAN ∠=∠. 又∵AM AM =，∴AMF AMN ≅△△．∴MF MN =.可得(1)45(3)4590MBF AFB AND ∠=∠+∠+︒=∠+∠+︒=︒． ∴在Rt BMF △ F 中,222BM BF FM +=. ∴ 222BM DN MN +=．证法二:连接BD ，作ME BD ∥，与DN 交于点E ．(如图10）.可知45BDC ∠=︒，90BDN ∠=︒. ∵ME BD ∥，∴18090MEN BDN ∠=︒-∠=︒． ∵90DBM DBC CBM ∠=∠+∠=︒, ∴四边形BDEM 是矩形. ∴ME BD =，BM DE =. 在Rt MEN △R 中，90MEN ∠=︒,∴222222222())()2()MN ME EN BD DN DE DN BM a DN BM =+=+-=+-=+- 2222()BM DN DN BM BM DN =⋅+-=+．NMDCBEA五、费马点与最值【例28】如图，P 是等边ABC ∆中的一个点，2,4PA PB PC ===，则ABC ∆的边长是____＿_＿_. PCBA【答案】如图,将BAP ∆绕B 点逆时针旋转60，则BA 与BC 重合，BP 移到BM 处，PA 移到MC 处， ∴,,60BM BP MC PA PBM ==∠=． ∴BPM ∆是等边三角形,PM PB == 在MCP ∆中,4,2,PC MC PA PM ====, ∴222PC PM MC =+，且2PC MC =.∴MCP ∆是直角三角形，且90,30CMP CPM ∠=∠=. 又∵PBM ∆是等边三角形,60BPM ∠=, ∴90,BPC BPC ∠=∆是直角三角形．∴(22222428BC BP PC =+=+=，解得BC =MPCBA【例29】 如图，在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,AC BC =,P 是ABC ∆内的一点,且123PB PC PA ===，，，求BPC ∠的度数．PBAC【答案】如图,将APC ∆绕点C 旋转，使CA 与CB 重合，即APC BEC ∆∆≌.∴PCE ∆为等腰Rt ∆, ∴45CPE ∠=︒，2228PE PC CE =+=． 又∵2219PB BE ==，，∴222PE PB BE += 则90BPE ∠=︒.∴135BPC ∠=︒．EPCBA【例30】 如图点P 是正方形ABCD 内部一点,1PA =2PB =3PC =，则APB ∠＝____＿____ABCDP【答案】135︒【解析】将APB ∆绕点B 顺时针旋转90︒，证明 BPQ ∆为等腰直角,PQC ∆为直角三角形,则135BQC BPA ∠=∠=︒QABC DP【例31】 如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到矩形'''AB C D ，如果22CD DA ==,那么'CC =___＿___＿_．D'C'B'D CB A【答案】由旋转的概念知'AC AC =，由22CD DA ==知AC =，所以勾股定理得'5CC =【例32】 如图,四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形,M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接AM 、CM 、EN . (1）求证：AMB ENB ∆∆≌(２)①当M 点在何处时，AM CM +的值最小；②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小,并说明理由；（3）当AM BM CM ++1时,求正方形的边长.DABCNME【答案】(1)略(2）①当M 点落在BD 的中点时，AM CM +的值最小②如图,连接CE ，当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM BM CM ++的值最小 理由如下:连接MN ．由(1）知，AMB ENB ∆∆≌ ∴AM EN =∵60MBN ∠=︒，MB NB =，∴BMN ∆是等边三角形 ∴BM MN =∴AM BM CM EN MN CM ++=++根据“两点之间线段最短”，得EN MN CM EC ++=最短∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时AM BM CM ++的值最小，即等于EC 的长 (3）过E 点作EF BC ⊥交CB 的延长线于F ∴906030EBF ∠=︒-︒=︒ 设正方形的边长为x，则BF x ，2xEF =，在Rt EFC ∆中，∵222EF FC EC +=∴222())1)2x x ++=解得,x =（舍去负值）∴正方形的边长为2【例33】 阅读下列材料对于任意的ABC ∆，若三角形内或三角形上有一点P ,若PA PB PC ++有最小值，则取到最小值时，点P 为该三角形的费马点．①若三角形内有一个内角大于或等于120︒，这个内角的顶点就是费马点②若三角形内角均小于120︒,则满足条件120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒时,点P 既为费马点 解决问题:（1)如图，ABC ∆中,三个内角均小于120︒,分别以AB 、AC 为边向外作等边ABD ∆、ACE ∆，连接CD 、BE 交于点P ，证明:点P 为ABC ∆的费马点.（即证明120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒)且PA PB PC CD ++=PEDCBA QA BCDP(2)如图,点Q 为三角形内部异于点P 的一点,证明：QA QC QB PA PB PC ++>++ （3)若30ABC ∠=︒,3AB =，4BC =，直接写出PA PB PC ++的最小值【答案】（1)详细证明过程略:[提示,如图]图三图二图一DBCB在线段CD 上取点F ,使得PF BP =第一阶段：如图一,先证明ACD AEB ∆∆≌,可得CD BE =,ADC ABE ∠=∠ 因此60BPD BAD ∠=∠=︒,∴120BPC ∠=︒得证明第二阶段：如图二,因为PB PF =,60BPF ∠=︒,可证BPF ∆为等边三角形,则120DFB ∠=︒ 第三阶段：如图三，证明ABP DBF ∆∆≌，则PA DF =,120BPA DFB ∠==︒∴120BPC BPA APC ∠=∠=∠=︒，且CD DF PF PC PA PB PC =++=++（2）详细证明过程略，如图四,以BQ 为边构造等边BQG ∆,连接DG ,证明BGD BQA ∆∆≌ 则DG QA =,根据两点之间线段最短,DG QG QC DC ++>，则QA QC QB PA PB PC ++>++ (3）最小值为5图五图四DB【例34】已知：PA =4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ,使P 、D 两点落在直线AB 的两侧．（1）如图,当45APB ∠=︒时,求AB 及PD 的长；（2）当APB ∠变化,且其它条件不变时，求PD 的最大值及相应APB ∠的大小．P DCBA【答案】（1)过点A 作AE AP ⊥,且AE AP =,连接PE ，EB ，证明AEB APD ∆∆≌，即可求出BE ，PD 过点A 作AF PB ⊥，应用解直角三角形的知识即可求 出AB ,过程略相信会有部分学生认为，前面的模型好理解,但是为什 么这个题的辅助线,我就想不到呢?老师，你是怎么思考的呢？其实这 就是对上述模型的理解,第一种理解方式,如图，已知的是两个等边或 等腰三角形,证明全等第二种理解方式,如图,一个三角形绕着一个顶 点旋转会形成两个等腰或等边或等腰直角三角形第二种理解方式第一种理解方式下面给出连续的变化图,辅助线就是这样想出来的,属于第二种理解方式,包括例１,例2的辅助线也是从这个角度去出发，P DCBAP DCBAP DCBAAB CDP(２)当135APB ∠=︒时，PD 取得最大值为6思考方式：如图,∵2AP =,6PB =固定不变,所以无论APB ∠如何变化，ADP ABE ∆∆≌,2PE =，BE PD =这些条件始终不变，因此就将此问转变成“已知PE ,PB 的长度,求BE 的最大值”,因此只有E ,P ,B 三点共线时,由此反求135APB ∠=︒EABCDP【练1】 如图,把菱形ABOC 绕点O 顺时针旋转得到菱形ＤFOE ，则下列角中不是旋转角的为( ）．A.∠ＢOF ﻩB.∠AODC.∠COE ﻩD ．∠C ＯF【答案】D【练2】 下列图形中，是轴对称图形,但不是中心对称图形的是( )．课后作业ﻩﻩﻩﻩﻩA.直角三角形 Ｂ．平行四边形Ｃ．菱形ﻩD ．等腰梯形(２０１4丰台一模)【答案】Ｄ【练3】 如图1，若△ＡＢC 和△AD Ｅ为等边三角形，M ,Ｎ分别EB ,CD 的中点，易证：CD =B Ｅ，△AMN 是等边三角形.（1)把△ADE 绕Ａ点旋转到图2的位置时，C Ｄ＝BE 是否仍然成立?若成立请证明,若不成立请说明理由;(２）当△ＡDE 绕Ａ点旋转到图3的位置时,△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明,并求出当A Ｂ=2ＡD 时，△ＡD Ｅ与△ABC 及△A ＭN 的面积之比；若不是,请说明理由．【答案】第三问提示：E 点为AC 中点,M 点位ME 中点，利用勾股即可算出AM 的长.ME C BA【练4】 已知:在Ｒt △ＡBC 中,AB =ＢＣ，在Ｒt △ＡＤE 中,A Ｄ=ＤE ，连结ＥC ,取EC 的中点M ,连结ＤM 和BM ．（1)若点Ｄ在边ＡC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图①，探索BM 、ＤＭ的关系并给予证明;(2）如果将图①中的△ＡDE 绕点Ａ逆时针旋转小于４5°的角,如图②,那么（1)中的结论是否仍成立?如果不成立,请举出反例;如果成立，请给予证明．MEDCBAMEDCB A图1 图2 图3【答案】（１）提示:直角三角形斜边上的中线;(2)可用中点倍长即旋转180；亦可用中位线法:要证DM 与BM 的关系,只需要将D B 、构造成线段的中点,辅助线如下图.FC【练5】 (1)如图，P 是等边ABC △内一点,若3PA =，4PB =，5PC =，求APB ∠的度数．（２)如图,P 是等边ABC △外一点,若3PA =,4PB =,5PC =，求APB ∠的度数．(3)如图所示，P 是等边ABC △内部一点,3PC =，4PA =，5PB =,求ABC △的边长.PCBA543ABCPPCBA【答案】只要学过勾股定理的同学，看到3,4,5 都会想到直角三角形.我们用旋转变换把三条边集中到同一个三角形中.(1）如图,过点B 作60P BP '∠=︒,BP BP '=,连接PP ',AP '．（等于将BPC △沿点B 逆时针旋转60︒).∵60P BP '∠=︒，4BP BP '==,4P P '=∴,60P PB '∠=︒.∴222AP P P AP ''+=，90APP '∠=︒∴,150APB P PB APP ''∠=∠+∠=︒∴(2）以PA 为边向四边形PACB 的外面作正AMP △，则MAB PAC ∠=∠，MAB PAC △≌△，∴4PB =,5BM =，3MP =,∴90BPM ∠=︒，906030APB ∠=︒-︒=︒.345P 'A BCPMPCBA（３)将APC △绕点A 逆时针旋转60︒，得到AQB △．连接PQ ,则AQB APC ∠=∠，60PAQ ∠=︒， 4AQ AP ==，3QB PC ==,故APQ △是等边三角形,从而60AQP ∠=︒,4PQ AP ==.在PQB △中，4PQ =,3QB =,5PB =,故90PQB ∠=︒，150APC AQB AQP PQB ∠=∠=∠+∠=︒． 过点C 作CD AP ⊥，交AP 的延长线于点D ,则30CPD ∠=︒,1322CD PC ==，PD ==因此,在Rt ACD △中,AC =.。