GPA BCDFE ABCDEF① 中位线定理例题：已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形ADEF所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．（１）求证：GH ∥平面CDE ；（２）若2,CD DB ==，求四棱锥F-ABCD 的体积．练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点D 是AB 的中点。

求证：AC 1∥平面CDB 1；2. 如图，1111D C B A ABCD -是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。

（1）求证：//1BD 平面DE C 1；（2）求三棱锥BC D D 1-的体积.3、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，4,3PD DC ==，E 是PC 的中点。

（1）证明：//PA BDE 平面；（2）求PAD ∆以PA 为轴旋转所围成的几何体体积。

例2、 如图, 在矩形ABCD 中,2AB BC = , ,P Q 分别为线段,AB CD 的中点,EP ⊥平面ABCD .求证: AQ ∥平面CEP ；（利用平行四边形） 练习：①如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，E 、F 分别是AB 、PD 的中点。

求证：AF ∥平面PCE ；②如图，已知P 是矩形ABCD 所在平面外一点，ABCD 平面PD ⊥，M ，N分别是AB ，PC 中点。

求证：//PAD MN 平面③ 如图，已知AB ?平面ACD ，DE 求证：AF 1111D C B A O ABCD 证：//1O C 面11AB D ．A 1C _ H _ G_ D_ A_ B_ CEFA BCDEF1A 1C 1B E FGACBEBA CN DFM③比例关系例题3、P 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是PB 、BC 上的点，且NC BN PM BM =,求证：MN ABCD ⊥EA ABCD //EF AB =4,=2,=1AB AE EF Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =, 求证：//EM 平面FBC ；④面面平行-线面平行例题4、如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∠∠︒903P ABCD -ABCD PD ⊥ABCD 2PD AB ==E F G PC PD BCEFG PA 面//P EFG-111ABC A B C -090ACB ∠=,,E F G 11,,AA AC BB 1CG C G⊥(Ⅰ)求证：//CG BEF 平面；3、如图所示,正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直,,//,22AD CD AB CD CD AB AD ⊥==. 在EC 上找一点M ,使得//BM 平面ADEF ,请确定M 点的位置,并给出证明．4、（2012山东文）如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =；ABEF M(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC .例题： 如图，已知四棱锥ABCD P -。

若底面ABCD 为平行四 边形，E 为PC的中点，在DE 上取点F ，过AP 和点F 的平面与 平面BDE 的交线为FG ，求证：FG AP //。

证明：连AC 与BD ，设交点为O ，连OE 。

练习：1、如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，N 是PB 中点，过A 、N 、D 三点的平面交PC 于M ．求证：//AD MN ； 2、（2012浙江高考）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB=2。

AD=2，BC=4,AA 1=2，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点。

（1）证明：EF ∥A 1D 1；3.如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC.（1） 求证：平面AEC ⊥平面ABE ；(面面垂直性质) （2） 点F 在BE 上，若DE BE BF 211111ABCD A B C D -E F G AB AD 11C D 求证：平面1D EF ∥平面BDG .练习：如图所示，在正方体ABCD-1111D C B A 中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点.求证：（1）EG ∥平面BB 1D 1D ；（2）平面BDF ∥平面B 1D 1H .例题：已知在正方体ABCD-1111D C B A 中，E,F 分别是1111A D D C 和DABCPMNACB PACBD P 上的点，点P 在正方体外，平面PEF 与正方体相交于AC ，求证：ABCD //平面EF①菱形的对角线互相垂直：例题。

已知E ，F 分别是正方形ABCD 边AD ，AB 的中点，EF交AC 于M ，GC 垂直于ABCD 所在平面。

求证：EF ⊥平面GMC ．练习：如图ABCD-1111D C B A 是底面为正方形的长方体，求证：（1）BD ⊥平面A ACC 1 （2）1AC BD ⊥②等腰三角形底边的中线垂直底边例1、 如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=o ，AP BP AB ==，PC AC ⊥．求证：PC AB ⊥；练习：1、在三棱锥A-BCD 中，AB=AC,BD=DC,求证：AD BC ⊥ ③圆的直径所对的圆周角为直角例题3、如图AB 是圆O 的直径，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，⊥PA 平面ABC ，（1）图中共有多少个直角三角形？（2）若PC AH ⊥,且AH 与PC 交于H ，求证：AH ⊥平面④利用勾股定理例4、在长方体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱21=AA ，E 是侧棱1BB 的中点。

求证：AE ⊥平面11A D E ；证明：1111D C B A ABCD -Θ为长方体，练习：如图，四棱锥P-ABCD 的底面是边长为1的正方形2,1,==⊥PD PA CD PA ,求证：（1）⊥PA 平面ABCD（2）求四棱锥P-ABCD 的体积.D1 A B CDABC DB⑤间接法，用线面垂直的性质定理（b l b b l ⊥⇒⊂⊥α,）例题：如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，︒=∠60DAB ，ABCD PD AD AB 底面⊥=,2，证明：BD PA ⊥; 练习1：如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC =3， BC =4，AB =5，14AA =，点D 是AB 的中点。

（Ⅰ）求证：1AC BC ⊥；练习2： 如图，四边形ABCD 为矩形，⊥BC 平面ABE ，F 为CE 上的点，且⊥BF 平面ACE . 求证：BE AE ⊥； 证明：因为ABE BC 平面⊥，ABE AE 平面⊂，例1如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直⊙O 所在的平面，C 是圆上不同于A ，B 的任意一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC .练习1：如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥2、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥。

求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C .3、如图， ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，BK ⊥SC 于K ，连结DK ，求证（1）平面SBC ⊥平面KBD例1：如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA ＝PD , O 为AD 中点.，求证:PO ⊥平面ABCD ；例2：如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．sACKDABCDE FaBD Ap（1）若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；（2）求证：AD PB⊥；练习：1、如图AB是圆O的直径，C是圆周上异于A、B的任意一点，⊥PA平面ABC，（1）图中共有多少个直角三角形？（2）若PCAH⊥,且AH与PC交于H，求证：平面PAC⊥平面PBC.(3) AH⊥2、在四棱锥ABCDP-中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点.求证：平面BEF⊥平面PAD3、如图，正方形ABCD所在平面与以AB为直径的半圆O所在平面ABEF直，P为半圆周上异于A，B两点的任一点，求证：○1直线AP⊥平面PBC。

②平面PBC⊥平面APC4、如图，三角形ABC中，AC=BC=AB22，ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥底面ABC，且，若G、F分别是EC、BD的中点，（Ⅰ）求证：GF A B C D，，，ABC△2AB AC BC===，ADB AB ADB⊥ABC CD如图，1111DCBAABCD-是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点。

ABACA 1B 1C 1D 1A BC DEAP（1）求证：//1BD 平面DE C 1； （2）求三棱锥BC D D 1-的体积.练习1：三棱锥P ABC -中，PAC ∆和PBC ∆2AB =，O D 、分别是AB PB 、的中点．（1）求证：//OD 平面PAC （2）求证：平面PAB ⊥平面ABC ； （3）求三棱锥A PBC -的体积．2、如图,长方体1111D C B A ABCD -中，11==AA AB ,2=AD ,E 是BC 的中点.(I)求证：平面AE A 1⊥平面DE D 1； (II)求三棱锥DE A A 1-的体积.3、如图，在四棱锥P-ABCD 中，，垂直于底面ABCD PD 底面ABCD是直角梯形， ,90,//o BAD AB DC =∠且4222====PD DC AD AB （单位：cm ），Ｅ为ＰＡ的中点。

（１）如图，若主视方向与ＡＤ平行，请作出该几何体的左视图并求出左视图面积；（２）证明：PBC //平面DE ；4、已知某几何体的直观图(图1)与它的三视图(图2)，其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形.已知D 是这个几何体的棱11C A 上的中点。

（Ⅰ）求出该几何体的体积； （33） （Ⅱ）求证：直线11//BC AB D 平面； (Ⅲ)求证:平面D AA D AB 11平面⊥.A 1 DCABPEA例题C DE PFB5、已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据， （Ⅰ）求这个组合体的体积；（Ⅱ）若组合体的底部几何体记为1111D C B A ABCD -，其中BA B A 11为正方形.（i ）求证：D C AB B A 111平面⊥；（ii ）求证：P 为棱11B A 上一点，求1PC AP +的最小值.六:等体积法求高（距离）：h 如：三棱锥 V 1BEC F -= V 1EFCB - 31S 1BEC ∆h=31S 1EFC ∆BE例题（2010广东文数）如图，弧AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为弧AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED,FB=a 5（1）证明：EB ⊥FD （2）求点B 到平面FED 的距离. 练习1：已知ABC ―A 1B 1C 1是正三棱柱，棱长均为5，E 、F 分别是AC 、A 1C 1的中点，（1）求证：平面AB 1F ∥平面BEC 1 （2）求点A 到平面BEC 1间的距离2、如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ；四边形ABCD 是菱形，边长为2，BACA1 B1C1F E3ABC PD 60BCD ︒∠=，经过AC 作与PD 平行的平面交PB 与点E ，ABCD 的两对角线交点为F ．（Ⅰ）求证：AC DE ⊥；（Ⅱ）若3EF =，求点D 到平面PBC 的距离． 3、如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知24BD AD ==，225AB DC ==．（1）求证：BD ⊥平面PAD ； （2）求三棱锥A PCD -的体积．4．如图，己知BCD ∆中，090BCD ∠=，1,BC CD AB BCD ==⊥平面，060,,AC,AD ADB E F ∠=分别是上的动点，且AE AF==,(0<<1)AC ADλλ （1）求证：不论λ为何值，总有EF ABC;⊥平面 （2）若1=,2λ求三棱锥A-BEF 的体积．5、(2012广东文数）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//,AB CD PD AD =，E 是PB 中点，F 是DC 上的点，且12DF AB =，PH 为PAD ∆中AD 边上的高。