m I d Ω 4 − [ I d k11 − m k 22 ] Ω 2 − ( k11 k 22 − k12 k 21 ) = 0
1 k11 k 22 Ω = − + 2 m Id
2
I p = 2Id
k k − k12 k 21 1 k11 k 22 − + 11 22 4 m Id mId
eω 2 ( p 2 − ω 2 ) + (2ζ pω ) 2
cos(ω t − φ ) sin(ω t − φ )
dr =0 dω
ω cr
1 = p 1 − 2ζ
2
ω cr n cr = 60 2π
对于小阻尼情况: 对于小阻尼情况
ω cr = p
rm ax e ≈ 2ζ
φ ≈
π
2
1.3 刚性支承的单盘偏置转子的涡动
1.1 转子涡动的运动学分析
x = X cos(ωt + φx ) x = X [cos(ωt ) cos(φx ) − sin(ωt ) sin(φx )] y = Y sin(ωt + φ y ) y = Y [cos(ωt )sin(φ y ) + sin(ωt ) cos(φ y )] X a = X cos φx ; X s = X sin φx ; Ya = Y sin φ y ; Ys = −Y cos φ y ;
x = X a cos ωt − X s sin ωt ; y = Ya cos ωt − Ys sin ωt
1.2 Jeffcott转子的涡动分析 转子的涡动，抗弯刚度 轴中央有一刚性薄圆盘， 轴中央有一刚性薄圆盘，
厚度/直径 的盘为薄圆盘。 厚度 直径<0.1的盘为薄圆盘。 直径 的盘为薄圆盘
Xiang JW, Chen DD, Chen XF, He ZJ. A novel wavelet-based finite element method for the analysis of rotor-bearing systems. Finite Elements in Analysis and Design 2009;45:908–916.
运动微分方程
&& & mx + cx + kx = meω 2 cos ωt && & my + cy + ky = meω sin ωt
&& + 2ζ px + p 2 x = eω 2 cos ωt & x && + 2ζ py + p 2 y = eω 2 sin ωt & y
式 中 ： p= k m = 48 E J ml
Nelson, H. D., and McVaugh, J. M., "The Dynamics of Rotor-Bearing Systems Using Finite Elements," ASME, Journal of Engineering for Industry, Vol. 98, No. 2, May 1976, pp. 593-600.
o ′点 的 横 向 运 动 微 分 方 程 为 ： k12 2 && + p1 x + x α =0 m k12 2 && + p1 y + x β =0 m
p1 =
k11 k12 k 22
k11 m
a 2 − ab + b 2 = 3lEJ a 3b 3 a−b = k 21 = 3lEJ 2 2 a b 3lEJ = ab
1972年， Ruhl首先将有限元法用于转子的 年 首先将有限元法用于转子的 动力特性计算。 动力特性计算。
Ruhl RL, Booker JF. A finite element model for distributed parameter turborotor systems. ASME Journal of Engineering for industry 1972;94:128-132.
（4）挠性转子的平衡 ）
影响系数法 振型分解法 混合法
第一章 转子动力学基础
1.1 1.2 1.3 应 1.4 1.5 1.6 1.7 坐标系及转子涡动的运动学分析 Jeffcott转子的涡动分析 转子的涡动分析 刚性支承的单盘偏置转子的涡动、 刚性支承的单盘偏置转子的涡动、回转效 弹性支承的单盘对称转子的涡动分析 影响转子-支承系统临界转速的主要因素 影响转子 支承系统临界转速的主要因素 调整转子-支承系统临界转速的方法 调整转子 支承系统临界转速的方法 航空发动机转子-支承 支承-机匣系统的建模 航空发动机转子 支承 机匣系统的建模
绪论
1. 转子动力学的发展 2. 转子动力学的研究现状
1. 转子动力学的发展
1869年，Rankine 发表了题为“论旋转轴 年 发表了题为“ 的离心力”一文， 的离心力”一文，开创了转子动力学研究的先 这篇论文得出的结论： 河。这篇论文得出的结论：转子在一阶临界转 速以下运转时是稳定的， 速以下运转时是稳定的，在超临界状态工作时 是不稳定的。 是不稳定的。 Rankine WJ. On the centrifugal force of rotating shafts. Engineer, 1869;27, P249.
Fx = −kx Fy = −ky
& Rx = −cx & Ry = −cy
48EJ k= 3 l
&& & mxc = Rx + Fx = −cx − kx && & myc = Ry + Fy = −cy − ky
xc = x + e cos ωt yc = y + e sin ωt
2
&&c = && − eω 2 cos ωt x x &&c = && − eω 2 sin ωt y y
3
;ζ =
c 2 km
x = X cos(ω t − φ ) y = Y sin(ω t − φ )
X = Y =
eω eω
2
( p 2 − ω 2 ) + (2ζ pω ) 2
2
φ = tg
−1
2ζ p p2 − ω 2
( p 2 − ω 2 ) + (2ζ pω ) 2
x= y=
r=
eω 2 ( p 2 − ω 2 ) + (2ζ pω ) 2 eω 2 ( p 2 − ω 2 ) + (2ζ pω ) 2
2
=0
m I d Ω 4 − m I p ω Ω 3 − ( I d k11 + m k 22 ) Ω 2 + I p k11ω Ω + k11 k 22 − k12 k 21 = 0
Ω =ω m ( I p − I d ) Ω 4 − ( I p − I d ) k11 − m k 22 Ω 2 − ( k11 k 22 − k12 k 21 ) = 0
1919年，英国的Jeffcott研究了如下模型： 年 英国的 研究了如下模型： 研究了如下模型
Jeffcott转子 转子
得出如下结论：亚临界时质心位于挠曲线外侧；超临界时质心 得出如下结论：亚临界时质心位于挠曲线外侧； 位于挠曲线内侧，它仍然是稳定工作的。 位于挠曲线内侧，它仍然是稳定工作的。
Jeffcott HH. The lateral vibration of loaded shafts in the neighborhood of a whirling speed –The effect of want of balance. Phil. Mag. Series 6, Vol37,1919,P304.
付才高等． 航空发动机设计手册 航空发动机设计手册≥第 付才高等．≤航空发动机设计手册 第19 转子动力学及整机振动． 册-转子动力学及整机振动．北京 航空工业 转子动力学及整机振动 北京:航空工业 出版社， 出版社，2000． ．
转子动力学的研究范畴
1.转子 支承系统的临界转速计算 转子-支承系统的临界转速计算 转子 2.转子不平衡的稳态响应计算 转子不平衡的稳态响应计算 3.转子支承系统的稳定性 转子支承系统的稳定性 4.残余不平衡量计算与柔性转子平衡技术 残余不平衡量计算与柔性转子平衡技术 5.瞬态响应分析 瞬态响应分析 6.横向裂纹转子动力特性分析 横向裂纹转子动力特性分析
（2）不平衡稳态响应预计 ）
不平衡响应的计算也包括传递矩阵法、 不平衡响应的计算也包括传递矩阵法、子结构 模态综合法、传递矩阵-直接积分法等方法 直接积分法等方法。 模态综合法、传递矩阵 直接积分法等方法。
（3）稳定性及瞬态响应分析 ）
自激因素包括: 内摩擦、油膜力、气弹效应等。 自激因素包括 内摩擦、油膜力、气弹效应等。 研究稳定性的方法包括： 研究稳定性的方法包括： 本征值判稳； 本征值判稳； 利用Routh-Hurwitz准则判稳； 准则判稳； 利用 准则判稳 数值积分法判稳； 数值积分法判稳；
2
2. 转子动力学研究现状
（1）临界转速的计算 ） （2）不平衡稳态响应预计 ） （3）稳定性及瞬态响应分析 ） （4）挠性转子的平衡 ）
（1）临界转速的计算 ）
航空发动机的转子支承系统通常设计为超临界 状况下工作，并保持10-20%的裕度； 的裕度； 状况下工作，并保持 的裕度 传递矩阵法和有限元法是常用的计算临界转速 的方法； 的方法； 带挤压油膜的转子动力特性计算是研究的热点。 带挤压油膜的转子动力特性计算是研究的热点。